C语言--全排列、字典序、去重复

全排列

简介

  从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排列起来，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。当m=n时所有的排列情况叫全排列。

  公式：全排列数f(n)=n!(定义0!=1)，如1,2,3三个元素的全排列为：

​ 1,2,3
​ 1,3,2
​ 2,1,3
​ 2,3,1
​ 3,1,2
​ 3,2,1
​ 共3 * 2 * 1 = 6 种。

分析

  由图可以看出可以利用分治法，先依次取出一项元素，然后将剩下的几个元素继续按照元素依次取出，直至剩下最后一项元素，然后依次打印。

比如：abcd --> 【a】【bcd】 --> 【a】【b】【cd】 --> 【a】【b】【c】【d】–>打印。然后回到上一个序列，【a】【b】【cd】 --> 【a】【 b】【d】【 c】 -->打印…

网上流传甚广的交换法就是用的这种算法。

代码

#include <stdio.h>

void Perm(int list[],int k,int m)//k表示前缀的位置,m是数组的长度.
{
    if(k==m-1)//前缀是最后一个位置,此时打印排列数.
    {
        for(int i=0; i<m; i++)
        {
            printf("%d",list[i]);
        }
        printf("\n");
        return;
    }
    for(int i = k; i < m; i++)
    {
        //交换前缀,使之产生下一个前缀.
        Swap(&list[k],&list[i]);
        Perm(list,k+1,m);
        //将前缀换回来,还原成上一个的前缀排列.
        Swap(&list[k],&list[i]);
    }
}
//交换函数
void Swap(int *a,int *b)
{
    int temp = *a;
    *a = *b;
    *b = temp;
}

int main(int argc, char *argv[])
{
    int a[]= {1,2,3,4};
    Perm(a,0,4);
}

字典序

  基于字典排序的方法，生成给定全排列的下一个排列，并保证后一个排序在前一个排序的后面。以上的代码会有一个问题，就是在交换数据的时候，会破坏原有的顺序，比如： 原始序列 1,2,3 ，在1和3交换的时候，会产生一个3,2,1的排序，并且会被率先打印出来。最后的结果会是 ：123、132、213、231、321、312 。

  找到了原因那问题就很容易被解决了。比如：当生成【3】【21】当生成一个前缀和一个子序列时，先对子序列排序就行了。变成【3】【12】即可。在原来的代码上加入排序，写法很简单。【注：非正规冒泡，这种写法挺有趣，效率至少不低于正规冒泡】。

#include <stdio.h>

void Perm(int list[],int k,int m)//同上
{
    if(k==m-1)
    {
        for(int i=0; i<m; i++)
        {
            printf("%d",list[i]);
        }
        printf("\n");
        return;
    }
    else
    {
        //非正规冒泡排序--实现字典序
        for(int i = k ; i < m-1; i++)
            for(int j = k+1; j < m; j++)
            {
                if(list[i] > list[j])
                    Swap(&list[i],&list[j]);
            }


        for(int i = k; i < m; i++)
        {
            Swap(&list[k],&list[i]);
            Perm(list,k+1,m);
            Swap(&list[k],&list[i]);
        }
    }
}

void Swap(int *a,int *b)
{
    int temp = *a;
    *a = *b;
    *b = temp;
}

int main(int argc, char *argv[])
{
    int a[]= {1,1,2,3};
    Perm(a,0,4);
}

去重问题

  如果全排列中，数字有重复，比如三个1组成的序列【111】，很显然排列只有一种，不需要交换。

  解决思路就是在交换前检查待交换的元素是否相等即可。在字典序的基础增加一点判断，如下：

#include <stdio.h>

void Perm(int list[],int k,int m)//k表示前缀的位置,m是数组的长度.
{
    if(k==m-1)//前缀是最后一个位置,此时打印排列数.
    {
        for(int i=0; i<m; i++)
        {
            printf("%d",list[i]);
        }
        printf("\n");
        return;
    }
    else
    {
        //冒泡排序--实现字典序
        for(int i = k ; i < m-1; i++)
            for(int j = k+1; j < m; j++)
            {
                if(list[i] > list[j])
                    Swap(&list[i],&list[j]);
            }

        for(int i = k; i < m; i++)
        {
            if( list[k] != list[i] || i == k) //值不相等则交换 以及 i == k 要交换
            {
                //交换前缀,使之产生下一个前缀.
                Swap(&list[k],&list[i]);
                Perm(list,k+1,m);
                //将前缀换回来,继续做上一个的前缀排列.
                Swap(&list[k],&list[i]);
            }
        }
    }
}
//交换函数,用函数写，思路会清晰很多。
void Swap(int *a,int *b)
{
    int temp = *a;
    *a = *b;
    *b = temp;
}

int main(int argc, char *argv[])
{
    int a[]= {1,1,2,3};
    Perm(a,0,4);
}

总结

  分治法的实现模式可以是递归方式，也可以是非递归方式，一般采用递归方式的算法模式。从算法的角度看，分治法得到的子问题和原问题是相同的，当然可以用相同的函数来解决，区别只在于问题的规模和范围不同。

---

简洁版

上面代码看着复杂,至少不优雅,来一个基础版的,思路更清晰点 修改日期:2023年12月9日

#include <stdio.h>

int n;
int a[101];
int book[101];

void dfs(int step)
{
    if(step == n+1 )
    {
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            printf("%d",a[i]);
        }
        printf("\n");
        return;
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        if(book[i]==0) {
            a[step] = i;
            book[i] = 1;

            dfs(step+1);
            book[i] = 0;
        }
    }
}

int main(int argc, char *argv[])
{
    n = 6;
    dfs(1);
    return 0;
}