MATLAB符号运算小技巧_matlab对时间的求导-优快云博客

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本文介绍了MATLAB中进行符号运算的一些实用技巧，包括如何定义抽象符号函数、进行变量替换、表达式化简以及处理实变量符号运算。在符号运算中，遇到速度对时间的导数问题，通过定义v为t的抽象函数解决了这一难题，并展示了如何用新变量替换复杂表达式，以及如何进行符号表达式的简化和转置操作。文章旨在帮助读者更高效地进行MATLAB符号运算。

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1. 引言

MATLAB具备强大的符号运算功能。符号运算就是所谓的计算机代数，通俗的说就是利用计算机进行数学公式的推导。这篇文章主要总结几个MATLAB进行符号运算时的小技巧，这也是作者在进行技术研究过程中实际碰到的一些难题，希望后来者能少走写弯路。

2. 符号运算

2.1 常规符号运算

先来说最朴素的情况，我们可以通过syms或者sym定义符号，我比较喜欢用syms，感觉这个指令功能更强大一些。代码如下：

syms v m g h;
L = 1/2*m*v^2 - mgh

以上代码定义了四个符号变量v，m，g，h。利用这四个符号变量定义了一个符号函数。此时希望对符号函数进行如下处理：

$\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{v} \right )$

里面的偏导数是比较容易计算的，MATLAB提供了一个叫做diff的函数专门用来求导数。这样 $\frac{\partial L}{v}$ 可以通过如下方式计算：

lv = diff(L, v)

此时得到的结果是 $lv=m*v$ ，这个结果是符合我们预期的，但是接下来怎么让 $lv$ 对时间求导数呢？我们从公式上可以看出来 $lv$ 并不是显含时间 $t$ 的，但是从原始公式上你可能已经看出 $v$ 是一个速度的概念，它一定是和时间 $t$ 相关的。也就是 $v=v\left(t \right )$ 。那么MATLAB如何处理此处对时间的导数呢？要不试一下：

syms t;
lvt = diff(lv, t);

很不幸，这种情况下你得到的将是0。因为MATLAB并不知道你这里的 $v$ 是时间的函数。这就是我们要介绍的第一个技巧。

2.2 抽象符号函数

前面我们提到MATLAB并不知道速度 $v$ 是时间的函数，那么怎么告知MATLAB呢？答案是在定义符号的时候将 $v$ 定义成时间的抽象函数：

syms v(t) m g h;
L = 1/2*m*v^2 - mgh

syms v(t)这样的定义方式matlab会自动创建一个符号变量t并认为v是符号变量t的抽象函数。这样 $\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{v} \right )$ 实现方式如下：

syms v(t) m g h;
L = 1/2*m*v^2 - mgh;
lv = diff(L, v);
lvt = diff(lv, t);

这时得到的lvt将是lvt=m*diff(v(t),t)，这正是我们希望得到的。当公式变得越来越复杂时，你可能会觉得diff(v(t),t)这种表达方式过于繁琐，希望能够通过一个更简洁的变量来代替它，比如新定义一个符号a，用a取代diff(v(t),t)，这就是第二个技巧。

2.3 变量替换

可以通过如下方式进行变量替换操作：

syms v(t) m g h;
L = 1/2*m*v^2 - mgh;
lv = diff(L, v);
lvt = diff(lv, t);

syms a;
lvt = subs(lvt, diff(v, t), a);

得到的表达式变为lvt=m*a。

2.4 符号表达式化简

当一个符号表达式存在冗余项时，可以对符号表达式进行合并等简化操作，使用的指令为simplify，代码如下：

syms v(t) m g h;
L = 1/2*m*v^2 - mgh;
lv = diff(L, v);
lvt = diff(lv, t);

L = simplify(L);

2.5 实变量符号运算

定义如下的符号表达式：

syms v(t) m g h;
y = [m g h];
z = y';

会发现z=[conj(m); conj(g); conj(h)]。出现这种问题的原因是matlab默认的运算 ' 是共轭转置，而单纯的转置使用的是 .' 因此一种解决方式是：

syms v(t) m g h;
y = [m g h];
z = y.';

另外一种方式是我们声明符号变量的时候就告知matlab这是一个实数范围内的符号变量：

syms v(t) m g h real;
y = [m g h];
z = y';

这种方式的问题是real本身只能修饰符号变量，不能修饰抽象符号函数v(t)，因此matlab会报警，如果矩阵中含有v(t)那么进行转置操作v(t)依然会带上conj，解决方法是用assumeAlso指令：

syms m g h real;
syms v(t);
assumeAlso(v(t), 'real');
y = [m g h v];
z = y';

2.6 取出符号函数体

现在有一个新的问题是由抽象符号函数引入的，假如我们输入如下指令：

syms m g h real;
syms v(t);
assumeAlso(v(t), 'real');
y = [m g h v];

现在我们希望取出矩阵y中的前三个元素要怎么做呢？你可能自然而然会想到用y(1:3)，但是这个操作的结果并不如你所愿，它得到的将会是一个四维的元组（cell），每个元组有三个元素，展开后是y={{m m m} {g g g} {h h h} {v(1) v(2) v(3)}}，其实这个指令的真正含义是当t分别取1，2，3时矩阵各个维度的值。如果你真的需要得到矩阵y的前三个元素，需要进行如下操作：

syms m g h real;
syms v(t);
assumeAlso(v(t), 'real');
y = [m g h v];

y = formula(y);
y = y(1:3);

3. 参考文献

[1]. Issue with reality assumption of an implicit function -

[2]. How do you declare a symbolic function of time as a real variable -

[3]. Return body of symbolic function - MATLAB formula

[4]. Use a symfun as index of a matrix -