极大似然估计原理-优快云博客

$hit2015spring晨凫追风\frac{hit2015spring}{晨凫追风}$

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举个例子：
张无忌和宋青书分别给周芷若送一个糖果，周芷若最后只接受一个糖果，问周芷若接受了谁的糖果。大部分的人肯定会说，当然是张无忌了。
这里面就蕴含了极大似然的思想。因为周芷若接受张无忌的概率大于宋青书呀，而故事的最后周芷若接受了一颗糖果这个事实发生了，所以我们自然选择发生概率大的那个了。

一个函数总体的分布是 $,θk)f(x;\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_k)$ 。样本 $,XnX_1,X_2,\cdots,X_n$ 是从总体中抽出的样本，这些样本独立同分布（是极大似然的前提条件），则这些样本 $,Xn)(X_1,X_2,\cdots,X_n)$ 服从的分布就是：
$,θk)f(x_1;\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_k)f(x_2;\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_k)\cdots f(x_n;\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_k)$
因为独立同分布，所以可以乘。把上面函数记为 $,θk)L(x_1,\cdots,x_n;\theta_1,\cdots,\theta_k)$

$1∘1^\circ$ 当我们固定 $,θk\theta_1,\cdots,\theta_k$ 时，看做是 $,xnx_1,\cdots,x_n$ 的函数， $L$ 是一个概率密度函数或者概率函数。

这样理解：若 $,θk)L(X_1,\cdots,X_n;\theta_1,\cdots,\theta_k) < L(Y_1,\cdots,Y_n;\theta_1,\cdots,\theta_k)$ ,则我们可以认为 $,Yn)(Y_1,\cdots,Y_n)$ 这个点出现的可能性要大于 $,Xn)(X_1,\cdots,X_n)$ 这些点出现的概率。

$2∘2^\circ$ 当我们固定 $,xnx_1,\cdots,x_n$ 时， $,θk)L(X_1,\cdots,X_n;\theta_1,\cdots,\theta_k)$ 看做是 $,θk\theta_1,\cdots,\theta_k$ 的函数， $L$ 是一个似然估计，这个函数在一个固定的观察结果 $,xnx_1,\cdots,x_n$ 的取值下，参数值 $,θk\theta_1,\cdots,\theta_k$ 可以看成是导致这个结果出现的原因，因为出现了周芷若接受糖果的事了，所以我们就让这件事情发生的概率最大，所以就叫张无忌去送糖果。张无忌就是那个 $,θ⃗k\vec\theta_1,\cdots,\vec\theta_k$ 。当然这里面的 $,θk\theta_1,\cdots,\theta_k$ 是有一定的值的（并不是任何值都可以），并不是随便一个人送糖果都可以的对吧。这里还包含了贝叶斯学派和频率主义学派两家的观点问题。频率主义学派认为参数是虽然是未知的，但是它是一个客观存在的固定值，因此可以通过优化似然函数等一些准则来确定参数值；但是贝叶斯学派认为参数是未观察到的随机变量，其本身也可以有分布，因此可以假定参数服从一个先验分布，然后基于观测到的数据来计算参数的后验分布。上面的估计方法就是传统的频率主义学派所认为的观点，就是一个事件的概率分布参数是存在的，我们需要优化似然函数这样的函数来求解得到参数。既然能发生，说明它出现的概率就是大，就像能考到清北的孩子优秀的概率肯定大于一般高校的孩子（一般这样认为）。
所以我们就去求当满足取样值的条件下，似然函数最大的那个参数就ok即：