【人工智能原理与应用（2）】基础搜索策略：从问题形式化到搜索算法

📌 适合对象：希望深入理解基础搜索算法原理的学习者
⏱️ 预计阅读时间：75-90分钟
🎯 学习目标：理解搜索问题形式化和基础搜索策略的核心问题、解决方案和设计逻辑

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📚 核心逻辑 (一句话概括)

核心问题：如何将实际问题形式化为搜索问题？如何系统地搜索问题的解，无论是否有额外信息？

解决方案的逻辑：首先通过定义状态空间、动作、目标测试、状态转移函数、路径代价五个核心要素，将实际问题转化为可搜索的形式化问题；然后通过不同的扩展策略（按层、按代价、按深度）和优化技术（双向搜索、图搜索）在无信息情况下搜索，通过启发函数提供信息引导，结合实际代价和估计代价（贪婪策略和A*策略）在有信息情况下搜索，在完备性、最优性、效率之间权衡。

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第一部分：搜索问题形式化

一、核心问题：如何形式化实际问题？（The Core Problem）：理解形式化的本质挑战

问题的本质（The Essence of the Problem）：理解形式化的需求

许多实际问题（如路径规划、拼图问题、游戏AI）都可以转化为搜索问题，但如何将实际问题形式化为搜索问题，是解决搜索问题的关键步骤。形式化需要将问题的本质特征提取出来，用状态、动作、目标等概念精确描述，同时要平衡表示的完整性和简洁性。就像将自然语言翻译成计算机能理解的形式语言，需要准确捕捉问题的本质，同时保持表示的简洁和高效。

设计搜索问题形式化时必须权衡的维度：

1. 完整性（Completeness）：状态表示是否包含解决问题所需的所有信息？
2. 简洁性（Conciseness）：状态表示是否简洁，避免冗余信息？
3. 可操作性（Operability）：状态表示是否便于执行动作和状态转移？
4. 效率（Efficiency）：形式化后的搜索空间是否足够小，便于搜索？

 

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二、解决方案：形式化的五个核心要素（Solutions）：理解形式化的设计思路

1. 状态空间设计（State Space Design）：如何表示所有可能的状态

状态空间设计：定义所有可能的状态集合，包括初始状态、目标状态和中间状态。状态表示需要完整描述问题的当前状态，同时保持简洁和可操作。就像绘制地图，需要标明所有可能的位置，同时保持地图的清晰和易读。为什么需要：状态空间定义了搜索问题的所有可能状态，是搜索的基础。好的状态空间设计能够简化问题，提高搜索效率。

状态空间设计的核心考虑：

• 状态表示：如何用数据结构表示状态（如城市名、拼图配置）
• 状态空间大小：可能状态的数量（可能是有限的或无限的）
• 状态的有效性：如何判断状态是否有效（如拼图是否可解）

 

2. 动作定义（Action Definition）：如何定义状态之间的转换

动作定义：定义在给定状态下可以执行的动作集合，包括动作的前置条件、效果和代价。动作定义了状态之间的转换方式，就像地图上的路线，标明从A到B的路径。为什么需要：动作定义了状态空间的结构，决定了搜索空间的大小和形状。好的动作定义能够减少搜索空间，提高搜索效率。

动作定义的核心考虑：

• 动作集合：在某个状态下可以执行的所有动作
• 前置条件：执行动作需要满足的条件
• 动作效果：执行动作后状态如何变化
• 动作代价：执行动作需要付出的代价

 

3. 目标测试设计（Goal Test Design）：如何判断是否达到目标

目标测试设计：定义判断当前状态是否是目标状态的函数。目标测试需要准确判断是否达到目标，同时计算效率要高。就像判断是否到达目的地，需要快速准确地判断。为什么需要：目标测试决定了搜索何时停止，是搜索算法的终止条件。好的目标测试能够快速判断是否找到解，提高搜索效率。

目标测试设计的核心考虑：

• 目标状态的定义：什么是目标状态（如到达Bucharest、完成拼图）
• 目标测试的效率：如何快速判断当前状态是否是目标状态
• 多个目标：如何处理多个可能的目标状态

 

4. 状态转移函数设计（Transition Model Design）：如何描述状态变化

状态转移函数设计：描述执行动作后状态如何变化，包括确定性转移和不确定性转移。状态转移函数定义了状态空间的结构，就像地图上的路线图，标明从A到B的路径。为什么需要：状态转移函数定义了搜索空间的结构，决定了搜索的复杂度。好的状态转移函数能够简化状态转移，提高搜索效率。

状态转移函数设计的核心考虑：

• 确定性转移：执行动作后，状态确定地转移到新状态
• 不确定性转移：执行动作后，状态可能转移到多个新状态（概率分布）
• 转移的完整性：所有可能的状态转移都需要定义

 

5. 路径代价设计（Path Cost Design）：如何评估解的质量

路径代价设计：定义从初始状态到当前状态的路径代价，用于评估解的质量。路径代价需要准确反映解的质量，同时计算效率要高。就像评估旅行路线的费用，需要准确计算总费用。为什么需要：路径代价用于评估和比较不同的解，是搜索算法选择最优解的依据。好的路径代价设计能够准确评估解的质量，帮助找到最优解。

路径代价设计的核心考虑：

• 单步代价：执行单个动作的代价（如距离、时间、费用）
• 路径总代价：路径上所有动作代价的总和
• 代价函数的一致性：代价函数是否满足一致性要求（如三角不等式）

 

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三、形式化要素的逻辑关系（Logical Relationships）：理解形式化要素之间的关系

依赖关系：状态空间设计是基础，定义了所有可能的状态；动作定义依赖于状态空间，定义状态之间的转换；目标测试设计依赖于状态空间，判断状态是否是目标；状态转移函数设计依赖于状态空间和动作定义，描述状态如何变化；路径代价设计依赖于状态转移函数，评估解的质量。这些要素相互依赖，共同构成搜索问题的形式化。

 

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第二部分：基础搜索策略

一、核心问题：如何系统地搜索问题的解？（The Core Problem）：理解搜索的本质挑战

问题的本质（The Essence of the Problem）：理解"从无信息到有信息"

基础搜索策略面临的核心挑战：如何系统地搜索问题的解，无论是否有额外信息？ 就像在一个迷宫中找出口，可能没有任何线索（无信息搜索），也可能有地图指引（启发式搜索）。无信息搜索只能通过系统化探索来找到解，启发式搜索可以利用额外信息更高效地找到解。

设计搜索算法时必须权衡的维度：

1. 完备性（Completeness）：能否保证找到解？（如果解存在，算法一定能找到吗？）
2. 最优性（Optimality）：能否保证找到最优解？（找到的解是最短路径或代价最小的吗？）
3. 效率（Efficiency）：需要多少时间和空间？（搜索速度快吗？内存消耗大吗？）
4. 信息利用（Information Utilization）：如何利用额外信息提高效率？（启发函数）
5. 重复状态（Repeated States）：如何避免重复探索？（会不会多次走到同一个地方？）

 

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二、解决方案：无信息搜索与启发式搜索（Solutions）：理解不同搜索策略的设计思路

1. 无信息搜索（Uninformed Search）：盲目探索

核心思路：在没有任何附加信息的情况下，通过不同的扩展策略（按层、按代价、按深度）和优化技术（双向搜索、图搜索）系统地搜索问题的解。就像在一个完全陌生的迷宫中找出口，没有地图、没有指南针，只能一步步探索。为什么需要：当没有额外信息时，只能通过系统化探索来找到解，不同的扩展策略在完备性、最优性、效率之间权衡。

关键策略：

• 按层扩展（BFS，广度优先搜索）：像水波扩散一样，一层一层向外扩展，保证找到最短路径，但内存消耗大
• 按代价扩展（UCS，一致代价搜索）：按路径代价选择，优先探索代价小的路径，保证找到代价最小的路径
• 按深度扩展（DFS，深度优先搜索）：像走迷宫一样，一条路走到底，内存消耗小，但可能找不到解或不是最短路径
• 限制深度（DLS，深度有限搜索）：在DFS基础上设置最大深度限制，避免无限路径问题
• 迭代深入（IDDFS，迭代深入深度优先搜索）：先尝试深度1，找不到就尝试深度2，兼顾BFS和DFS的优点
• 双向搜索：从起点和终点同时搜索，在中间相遇，大幅减少搜索节点数
• 图搜索：记住已经走过的位置，避免重复探索，特别适用于有大量重复状态的问题

 

2. 启发式搜索（Heuristic Search）：利用信息引导

核心思路：利用额外信息（启发函数）更高效地搜索问题的解，通过启发函数提供信息引导，结合实际代价和估计代价（贪婪策略和A*策略），在搜索效率和最优性之间权衡。就像从没有地图的盲目探索，到有地图指引的智能导航，知道大概方向后可以更快速地找到目标。为什么需要：当有额外信息时，可以利用这些信息引导搜索，减少搜索空间，提高搜索效率。

关键策略：

• 贪婪最佳优先搜索：只考虑启发函数$h(n)$，总是选择离目标最近的节点扩展，快速但不一定最优
• A*搜索：结合实际代价$g(n)$和估计代价$h(n)$，$f(n)=g(n)+h(n)$，优先扩展总代价最小的节点，既能利用信息提高效率，又能保证最优性
• 可采纳性：启发函数$h(n)\le h^{\ast }(n)$，估计值不超过真实值，保证A*能找到最优解
• 一致性：启发函数满足三角不等式，保证A*图搜索的最优性

 

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三、解决方案的逻辑关系（Logical Relationships）：理解策略之间的演进逻辑

1. 问题-解决方案映射（Problem-Solution Mapping）：无信息搜索解决无信息情况，启发式搜索解决有信息情况

 

2. 演进逻辑（Evolution Logic）：从形式化到搜索，从无信息到有信息，从基础策略到改进策略

从形式化到搜索：问题形式化（定义状态空间、动作、目标等）→ 搜索算法（应用不同的搜索策略）。形式化是搜索的前提，只有将问题形式化后，才能应用搜索算法。

从无信息到有信息：无信息搜索（盲目探索）→ 启发式搜索（利用信息）。从没有任何额外信息，只能系统化探索，到利用额外信息引导搜索，提高效率。

从基础策略到改进策略：BFS（按层扩展）→ UCS（按代价扩展）→ DFS（按深度扩展）→ DLS（限制深度）→ IDDFS（迭代深入）。从基础扩展策略到改进策略，在完备性、最优性、效率之间权衡。

从快速到最优：贪婪策略（快速但不一定最优）→ A*策略（完备且最优）。从只考虑估计代价快速搜索，到综合考虑实际代价和估计代价保证最优性。

演进逻辑：基础搜索策略的发展体现了从形式化到搜索、从无信息到有信息、从基础策略到改进策略、从快速到最优的演进过程。问题形式化是搜索的基础，无信息搜索通过不同的扩展策略和优化技术在完备性、最优性、效率之间权衡；启发式搜索通过利用额外信息提高效率，同时保证最优性。这种演进使得搜索算法能够适应不同的问题场景和信息条件。

 

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四、核心设计原理总结（Design Principles）：理解搜索设计的本质

1. 形式化设计的本质（The Essence of Formulation Design）：五个核心要素共同构成搜索问题的形式化

五个核心要素：状态空间、动作、目标测试、状态转移函数、路径代价，共同构成搜索问题的形式化。每个要素都有其特定的作用，相互依赖，共同决定搜索问题的复杂度和搜索效率。好的形式化是高效搜索的前提。

 

2. 扩展策略的本质（The Essence of Expansion Strategies）：不同的扩展策略决定了搜索的特性

三种基本扩展策略：按层扩展（保证最短路径）、按代价扩展（保证代价最小）、按深度扩展（节省内存）。不同的扩展策略决定了搜索的特性。选择按层扩展，就保证了最优性但牺牲了空间效率；选择按深度扩展，就节省了内存但可能失去完备性和最优性。

 

3. 优化技术的本质（The Essence of Optimization Techniques）：双向搜索减少节点数，图搜索避免重复探索

两种优化技术：双向搜索（减少搜索节点数）、图搜索（避免重复探索）。这些技术可以应用于不同的基础策略，提升搜索效率。双向搜索通过从两端同时搜索，将搜索深度减半；图搜索通过记录已访问状态，避免重复探索，特别适用于有大量重复状态的问题。

 

4. 信息利用策略的本质（The Essence of Information Utilization）：不同的信息利用策略决定了搜索的特性

两种信息利用策略：只考虑估计代价（贪婪策略）、综合考虑实际代价和估计代价（A*策略）。不同的信息利用策略决定了搜索的特性。选择只考虑估计代价，就快速但不一定最优；选择综合考虑，就既能利用信息又能保证最优性。

 

5. 启发函数性质的本质（The Essence of Heuristic Properties）：可采纳性和一致性是A*算法最优性保证的基础

可采纳性和一致性：可采纳性保证A能找到最优解，一致性保证A图搜索的最优性。这些性质是A*算法最优性保证的基础。

 

6. 设计权衡（Design Trade-offs）：没有完美的算法，只有适合不同场景的算法

核心权衡：在形式化设计中，需要在完整性、简洁性、可操作性和效率之间权衡；在搜索算法设计中，需要在完备性、最优性、效率（时间和空间）之间权衡。保证完备性和最优性通常需要更高的复杂度（更多时间和内存），但可以通过重复搜索（如IDDFS）换取空间效率，或通过利用信息（如A*）提高效率。设计搜索算法的核心就是在这些维度之间找到平衡点。没有完美的算法，只有适合不同场景的算法。

 

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📝 本章总结

核心逻辑（Core Logic）：通过形式化和不同搜索策略在完备性、最优性、效率之间权衡

1. 核心问题：如何将实际问题形式化为搜索问题？如何系统地搜索问题的解，无论是否有额外信息？
2. 解决方案：首先通过定义状态空间、动作、目标测试、状态转移函数、路径代价五个核心要素，将实际问题转化为可搜索的形式化问题；然后通过无信息搜索和启发式搜索的不同策略，在完备性、最优性、效率之间权衡
3. 设计逻辑：形式化是搜索的基础，好的形式化能够简化问题，提高搜索效率；在完备性、最优性、效率之间权衡，利用信息可以提高效率，但需要保证启发函数的性质才能保证最优性
4. 演进逻辑：从形式化到搜索，从无信息到有信息，从基础策略到改进策略，从快速到最优

 

知识地图（Knowledge Map）：从问题形式化到无信息搜索和启发式搜索的知识结构

 

关键洞察（Key Insights）：形式化是搜索的基础，设计权衡是核心

1. 形式化是搜索的基础：好的形式化是高效搜索的前提。状态空间、动作、目标测试、状态转移函数、路径代价五个要素共同构成搜索问题的形式化，每个要素的设计都影响搜索效率。

2. 要素之间的依赖关系：不同要素相互依赖，共同决定搜索问题的复杂度。理解要素之间的关系，才能设计出好的形式化。

3. 扩展策略决定搜索特性：按层扩展保证最优性，按深度扩展节省内存。选择不同的扩展策略，就决定了搜索算法的基本特性。

4. 优化技术提升效率：双向搜索减少节点数，图搜索避免重复探索。这些技术可以应用于不同的基础策略，进一步提升效率。

5. 信息利用决定搜索特性：只考虑估计代价快速但不一定最优，综合考虑实际代价和估计代价既能利用信息又能保证最优性。

6. 启发函数性质保证最优性：可采纳性保证A能找到最优解，一致性保证A图搜索的最优性。

7. 设计权衡是核心：在形式化设计和搜索算法设计中都需要权衡。没有完美的算法，只有适合不同场景的算法。