巧妙的斐波那契

                巧妙的斐波那契

   在算法中发现了数学的乐趣。

     先提出一个问题，如果一个长的为n的数组，用0和1填充，不能有连续的1，那么有多少种填充方法。

     解法：长度为n,只有当1的个数小于等于n/2+n%2时，此时才可能满足题意。（例如n=7，那么之多可以有4个1，因为3个0的周围只有4个 空。）则有解为C44 +c5 3 +c6 2 + C71+c80 = 1 + 10 + 15 + 7 + 1 = 34;故长度为7时有34中排法。

    这个解法不是这篇文章的重点，重点是有1，2，3，4，5，6，7的分别是2，3，5，8，13，21，34。这是已经发现规律了，这恰好是斐波那契数（只是斐波那契数开始为1，1，2）。

以5，6，7为例解析:

[5]  :  C3 3+ C4 2 + C5 1 + C6 0  .

[6]  :            C4 3+ C5 2  + C6 1 + C7 0 .

[7] : C4 4 + C5 3 +C6 2 + C7 1 + C8 0.

 

在排列组合中有:Cn m = Cn-1 m + Cn-1 (m-1);

故【5】【6】相同颜色的部分相加等于【7】的该颜色部分(如上图).

 另一种理解：

 对于n>2来说，若F【n-1],F[n-2]都知道，那么这么分析，假设最后一位是0，那么种类数为F【n- 1】； 若最后一位是1，那么倒数第二位一定是0，种类数为F【n-2】。故F【n】 = F【n-1】+F【n-2】;而F【1】=2；F【2】=3；

 

暂时还没有完全理解其中道理，贴出来算是分享，也算是等待知道原因的给讲解下。