POJ 1286 Necklace of Beads

最新推荐文章于 2020-12-21 14:39:03 发布

疯狂调bug的浩浩

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分类专栏： acm初学

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本文介绍了Burnside引理和Polya定理的基本概念及其应用，详细解释了如何利用这些数学工具来解决等价类计数问题，并提供了一个具体的程序实现案例。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Burnside引理

百度百科的定义：
设G=a1,a2,…ag是目标集[1,n]上的置换群。每个置换都写成不相交循环的乘积。是在置换ak的作用下不动点的个数，也就是长度为1的循环的个数。通过上述置换的变换操作后可以相等的元素属于同一个等价类。若G将[1,n]划分成l个等价类，则：

其中c(ai) 就是对应不动点的个数

Polya定理

假设一个置换有k个循环，易知每个循环对应的所有位置颜色需一致，而任意两个循环之间选什么颜色互不影响。因此，如果有m种可选颜色，则该置换对应的不动点个数为mk。用其替换burnside引理中的C(f)，即C(f)=mk

。得到等价类数目为：

挑战程序设计竞赛中302页有较为详细的介绍

∑|F|i=0mki|F| ，的

这里来

   #include<iostream>
   #include<cstring>
   #include<cstdio>
    using namespace std;
    #define ll long long
    int gcd(int m,int i)
    {
        if(i==0) return m;
        return gcd(i,m%i);
    }
    ll quick(ll m,ll i)
    {
        ll ans=1;
        while(i)
        {
            if(i&1) ans=ans*m;
            i>>=1;
            m=m*m;
        }
        return ans;
    }
    int main()
    {
        int n;
        while(~scanf("%d",&n))
        {
            if(n==-1) break;
            if(n==0){
                cout<<"0"<<endl;continue;
            }
            ll ans=0;
            for(int i=1;i<=n;i++)
                ans+=quick(3,gcd(i,n));
            if(n&1) ans+=n*quick(3,1+n/2);
            else ans+=(n/2)*quick(3,n/2)+(n/2)*quick(3,n/2+1);
            ans=ans/(2*n);///注意除以2*n,循环有n个置换，翻转有n个置换
            printf("%lld\n",ans);
        }






        return 0;
    }