[Tarjan]LCA算法

先来一波理论

祖先

若$u$的祖先集合是$s_u$，$u$的父亲为$f_u$树根为$root$
那么

$$s_u=\begin{cases}\{u,s_{f_u}\}&u\not=root\\u&u=root\end{cases}$$
通俗点讲：$s_u$就是$u$和$u$的父亲和$u$的父亲的父亲和$u$的父亲的父亲的父亲$\dots$

LCA

设一颗有根树上的两点$u,v$，它们的LCA为$l_{u,v}$
那么$l_{u,v}\in s_u\bigcup s_v$并且$s_{l_{u,v}}\in s_u\bigcup s_v$
也就是它们的公共祖先中深度最小的点

来一波tarjan

前叙

tarjan是一个神奇的算法，它的复杂度是$O(n+q)$，加上vector的大常数，妥妥的TLE，好吧，别学我。

神奇的tarjan的神奇的算法

先奶一波代码

void LCA(int s)
{
    ved[s]=1;//如果把连向父亲节点的边删掉，就不用这一步
    fr(i,0,t[s].size()-1)
        if(!ved[t[s][i]])
        {
            LCA(t[s][i]);
            f[t[s][i]]=s;
        }
    fr(i,0,as[s].size()-1)
        if(vis[as[s][i]])
            ans[nu[s][i]]=getf(as[s][i]);
    vis[s]=1;                
}

tarjan就是后序遍历发现没
举个栗子

我们要求：

1 3
3 4
2 5
4 5

我们先沿着$1\rightarrow2\rightarrow3$欢快得走下去，
然后无路可走了QAQ，接着就留下个标记，XXX到3一游，并给$3$了一个flag：从$2$来的

然后又回到了$2$，接着走到了$4$，无路可走，返回。

等等。。。$3$之前也走过，所以，找到$3$立的flag$2$，于是$l_{3,4}=2$就得到了

然后继续走，给$2$立了$1$的flag

然后到了$5$，发现了一件大事：$2$和$4$都走过了，然后找到了它们的flag$1$，$2$。

$l_{4,5}=2$不对劲啊。对哦，要一直沿着flag往上浪，于是就$4\rightarrow2\rightarrow1$，$l_{4,5}=1$

然后回了$1$，没地方放flag了，那就跳过吧。
然后发现：$3$走过照常，直接沿着flag走，得$l_{1,3}=1$
所以答案为：

1
2
1
1