96 不同得二叉搜索树明安图法动态规划法_明安图创造catalan数的过程-优快云博客

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给定一个整数 n，求以 1 … n 为节点组成的二叉搜索树有多少种？

示例:

输入: 3
输出: 5
解释:
给定 n = 3, 一共有 5 种不同结构的二叉搜索树:

1 3 3 2 1
\ / / / \
3 2 1 1 3 2
/ / \ \

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/unique-binary-search-trees
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class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
    	int c=1;
    	for(int i=1;i<n;i++)
    	{
    		c=2*(2*i+1)*c/(i+2);//（记得把i+2括号括起来）
		}
    }
	return c;
};

这玩意是个公式！！！！！！
叫做

明安图公式！！也叫卡塔兰算法！

上公式！
在这里插入图片描述
第一行是最初推理得到得公式，，最后是经过化简得到的

附上公式的证明

最适合理解的模型
n个0和n个1组成一个2n位的2进制数，要求从左到右扫描时，0的累计数始终都小于等于1的累计数，求满足条件的数有多少？

观察模型 (6)：在2n位上填入n个0的方案数为。而从中减去不符合要求的方案数即为所求答案。
在从左往右扫时，必然会在某一个奇数位2p+1上首先出现p+1个1，和p个0

此后的 [2p+2,2n]上的2n−(2p+1)位有n−p个0, n−p−1个1。如若把后面这部分2n−(2p+1)位的1与0互换，使之成为n−p个1，n−p−1个0，结果得1个由n+1个1和n−1个0组成的2n位数，即一个不合法的方案必定对应着一个由n+1个1和n-1个0组成的一个排列。

可以倒过来反证：
任意一个由n+1个1和n-1个0组成的一个排列，由于1的个数多了2个，且2n为偶数，所以必定在某个奇数位2p+1上出现1的个数超过0的个数。同样把后面部分1和0互换，成为了由n个0和n个1组成的2n位数。

由此，每一个不合法的方案总是与唯一一个由n+1个1和n−1个0组成的排列一一对应。
于是，不合法的方案数就可以写作：

例如 10100101
是由4个0和4个1组成的8位2进制数。但从左而右扫描在第5位（显示为红色）出现0的累计数3超过1的累计数2，它对应于由3个1，5个0组成的10100010。
反过来 10100010
对应于 10100101
因而不合要求的2n位数与n+1个0，n－1个1组成的排列一一对应，故有“卡塔兰数”Catalan
在这里插入图片描述