【CS知识点】一文搞懂原码、反码和补码

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为什么计算机用补码表示负数？原码和反码又是什么？

本文将带你彻底搞懂原码、反码和补码，让你从此不再为这些概念头疼！

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目录

什么是原码、反码和补码？

为什么需要反码和补码？

补码是如何工作的？

加法运算

减法运算

补码的数学本质（了解）

模运算

负数的补码表示

为什么补数可以统一加减法？

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在计算机科学中，原码、反码和补码主要用于二进制系统，是表示有符号整数（即正数、负数和零）的三种不同方式。

什么是原码、反码和补码？

 定义如下：

原码：最简单的二进制表示法，最高位为符号位，0 表示正数，1 表示负数。

反码：正数同原码，负数在源码基础上符号位不变，其余位取反。

补码：正数同原码，负数为反码加 1。

为什么需要反码和补码？

在机器运算中，原码存在局限性：在表示负数时，加减法运算复杂，无法统一处理（硬件设计复杂）。

对此，反码可以简化有符号数的加减法的问题，减去一个数等同于加上它的反码但存在“+0”和“-0”表示不唯一的问题。

引入补码，在简化加减法的基础上，统一了零的表示。

使用补码，加法和减法运算可以统一处理。这意味着计算机的硬件只需要实现加法逻辑，减法可以通过加一个数的补码来实现。

补码是如何工作的？

由上述原因，现代计算机系统普遍使用补码进行数值计算，能够将加法和减法统一为加法运算，从而简化计算机的硬件设计。

下面我们将分加法和减法运算讨论补码如何简化：

加法运算

直接将两个补码相加。

例：

计算5+3时

其中，5的补码为0000 0101

3的补码为0000 0011

将两数的补码相加，并忽略最高位进位，得：0001 0000，即为2。

减法运算

将减法运算改写为加法运算，并且忽略最高位的进位：A-B=A+(-B)

计算5-3时，可将其视作5+（-3）

其中，5的补码为0000 0101

-3的补码为1111 1101

将两数的补码相加，并忽略最高位进位，得：（1）0000 0010，即为2。

补码的数学本质（了解）

补码的设计基于模运算（Modular Arithmetic），其核心思想是将负数表示为正数的补数。

模运算

对于一个固定的模数 M，任何数 A 的补数为 M - A 。

在 n 位二进制系统中，模数为 2 ^ n 。例如，8 位二进制的模数为 256 。

负数的补码表示

 负数 - A 的补码为 2 ^ n - A 。

以 8 位二进制为例，- 5 的补码为 256 - 5 = 251 ，即 1111 1011 。

为什么补数可以统一加减法？

 加法的模运算性质: (A + B) mod M = (A mod M + B mod M) mod M 。

 减法的模运算性质：(A - B) mod M = (A + (M - B) )mod M 。

其中，（M - B）即为负数的补码。

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