算法实验之线性规划解决配料问题

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1 问题描述

    食谱/配料问题：设有n种配料,每种配料含有m种营养成分,用 表示一个单位的第 j (j<=n)种配料中含有的第 i (i<=m)种营养成分数量,用 表示对第 i 种营养成分的最低需要量,表示第 j 种食品的单价,表示所用的第 j 种食品的数量，配料问题的求解即解决应如何搭配食物（即求解）, 一方面满足种营养成分的需要，同时使食物的总成本最低的问题。

 

2 问题的相关背景描述

这类问题其实是在计划任务确定的情况下，如何统筹安排，用作少的资源来实现任务要求，可以抽象为一个求极小值的问题。对于社会实际问题而言，这类问题研究和应用的内容是实现系统的投入产出的问题，用最少的劳力和物力等投资消耗，获利更多更好的社会需求产品。

解决配料问题常用的方法是图解法和单纯形法。图解法虽然清晰直观、方便简单，但是只适用于二维的线性规划问题，在我们的高中时期经常用到。单纯形法的优点是可以适用于所有的线性规划问题，但是单纯形法中涉及大量不同的算法，为了针对不同的线性规划问题，计算量大，复杂繁琐。除此之外还有内点法、椭球法等求解线性规划问题的算法。

 

参考文献：第1卷第1期 西昌学院学报·自然科学版 Vo1．1，No．12013年06月 Journal of Xichang College·Natural Science Edition Jun．，2013

3.问题分析

解决线性规划问题，首先要对线性规划问题建立数学模型，确定目标函数和相应的约束条件。

从实际问题中建立数学模型一般有以下步骤：

（1）、根据所求目标的影响因素找到决策变量；

（2）、由决策变量和所求目标的函数关系确定目标函数；

（3）、由决策变量所受的限制条件确定决策变量所需要满足的约束条件。

3.1单纯形法（主要）

算法步骤：

（1）、将非标准型线性规划化成标准型，加入松弛变量；

（2）、求出线性规划的初始基可行解，列出初始单纯形表；

（3）、进行最优解检验。如果表中所有检验数小于等于零，则表中的基可行解就是问题的最优解，计算停止，否则进行下一步。

（4）、从一个基可行解转换到另一个目标值更大的基可行解，列出新的单纯形表。确定换入基的变量，当有一个以上检验数大于0时，一半选择最大的一个检验数，其对应的作为换入变量；确定换出变量，根据计算并选择，选最小的对应基变量作为换出变量；用换入变量替换基变量中的换出变量，得到一个新的基。对应新的基可以找出一个新的基可行解，并相应地可以画出一个新的单纯形表。

（5）、重复（3）（4）步骤直到计算结束为止。

算法评估：平均计算量统计O(n)

3.2椭球法

算法步骤：

（1）、变换问题提法：原问题：,    对偶问题：, ，于是知，若有最优解则构造的下述复合不等式必成立：,;

（2）、变换上述不等式并试图求解，然后构造一个大的球体，使其必包含不等式可行解（若存在的话），对球心判断是否为可行解，若是，结束，否则，切割球体（切去肯定不包含可行解的部分）直至找到可行解，或证明无可行解。

算法评估：并不实用，计算量

3.3内点法

算法步骤：

算法评估：计算量 平均计算量统计O(lgn)

3.4蛮力法

算法步骤：根据条件将解空间缩小后，在解空间中搜索最优解

算法评估：在特殊情况下可能会表现突出，但是更普遍的情况下并不适用。

 

 

由于单纯形法更具有普遍性，在解决配料问题等各类线性规划问题方面也表现突出，所以单纯形法是我们组重点研究的对象。

 

 

4.计算模型

1、  化为标准形式

…

 

 

2、  化为松弛形式

此时依然成立, 我们将这些变量称为非基变量，它们构成的集合记为N。将这些变量称为基变量，它们构成的集合记为B。简单地理解，非基变量能够由基变量唯一确定。

s.t.

3、  初始化过程

如果b向量并不全为非负，则我们需要通过初始化过程来找到一个可行解，然后才可以使用最优化过程进行优化。当然，此时原线性规划不一定存在可行解。具体的方法是，加入一个新的非基变量，并在原线性规划的基础上构造一个新的辅助的线性规划。

 注意这里N集合并不包含。然后，选择一个基变量使得最小，执行转轴操作pivot(d, 0)。不难证明该操作过后所有的b值全部非负。然后，使用前文中所述的最优化过程求解该辅助线性规划。由于非负，因此该线性规划的答案非正。如果答案为负数，则说明原线性规划不可能让所有的基变量都非负，因此原线性规划无可行解。否则，只要令所有变量为0，并去掉变量，就可以得到可行解。在从辅助线性规划转化到原来的线性规划的过程中，如果已经是非基变量，则可以将其从约束条件和目标函数中直接去掉。否则，需要任取一个非基变量执行pivot(0，e)，将变为非基变量。由于此时是基变量且=0，故一定成立，因此这个转轴操作不会破坏b向量的非负性。

4、  最优化过程

如果b向量所有元素非负，则显然我们只需要令所有的变量等于0，就可以得到一个可行解。在这种情况下，通过下述最优化过程，我们可以得到该线性规划的最优解，或者指出该线性规划的最优解为无穷大（不存在）。

1、任取一个非基变量，使得。

2、选取一个基变量，使得，且最小化

3、执行转轴操作pivot(d, e)，并转到第一步继续算法。

根据的最小性不难证明pivot(d, e)不会破坏b的非负性。因此将所有变量取0值仍然是可行解。同时，根据，我们发现v一定是不降的。这就达到了更新解的目的。不难发现，算法终止有两种情况：

1、对于所有的非基变量，c均非正。

2、对于某一个e，所有的均非正。

可以证明，对于第一种情况，我们已经得到了该线性规划的最优解。当前的v即为答案。严格证明比较复杂，但是直观上是很容易理解的。因为所有的非基变量都是非负的，而所有的c都是非正的，因此只要某个非基变量不为0，就会使得目标函数更小。对于第二种情况来说，很容易证明此时线性规划的最优解是无穷大。只要让其他所有变量均为0，变量为正无穷。由于所有的都非正，因此非基变量的非负性得到保证。同时由于，目标函数值为正无穷。

5、  选取入基变量离基变量

步骤1：选入基变量。如果所有≤0，则当前基本可行解为最优解，计算结束。否则，取>0，相应的非基本变量为入基变量。

步骤2：选离基变量。 对于入基变量，如果所有≤0(i=1,2, …, m)，则最优解无界，计算结束。否则，计算

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