【BZOJ5311】【CF321E】贞鱼/Ciel and Gondolas（DP，凸优化）

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/hhaannyyii/article/details/81592236

本文介绍了一个有趣的算法问题：如何最小化一组贞鱼乘车时产生的总怨气值。通过使用动态规划和二分查找等技术，文章提供了一种高效求解方案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

众所周知，贞鱼是一种高智商水生动物。不过他们到了陆地上智商会减半。
这不？他们遇到了大麻烦！
n只贞鱼到陆地上乘车，现在有k辆汽车可以租用。
由于贞鱼们并不能在陆地上自由行走，一辆车只能载一段连续的贞鱼。
贞鱼们互相有着深深的怨念，每一对贞鱼之间有怨气值。
第i只贞鱼与第j只贞鱼的怨气值记为Yij，且Yij=Yji，Yii=0。
每辆车载重不限，但是每一对在同辆车中的贞鱼都会产生怨气值。
当然,超级贞鱼zzp长者希望怨气值的总和最小。
不过他智商已经减半,想不出分配方案。
他现在找到了你,请你帮助他分配贞鱼们,并输出最小怨气值之和ans。

Solution

首先，一段区间 $[i, j]$ 的贡献即给出的矩阵的子矩阵 $(i, i) - (j, j)$ 的权值和除以 $2$ 。
我们首先可以得到一个 $O(n^2k)$ 的DP，可以用类似NOI2009诗人小G的方法优化成 $O(nk\log)$ 。
然后套路地二分一个值，每次分出一段就将答案加上该值，检查最后的分了多少个段即可，时间复杂度 $O(n\log^2)$ 。

Code

BZOJ卡常哇，加了个fread就卡过去了2333

/**************************************
 * Au: Hany01
 * Prob: [BZOJ5311][CF321E] 贞鱼
 * Date: Aug 11th, 2018
 * Email: hany01@foxmail.com
**************************************/

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef vector<int> VI;
#define File(a) freopen(a".in", "r", stdin), freopen(a".out", "w", stdout)
#define rep(i, j) for (register int i = 0, i##_end_ = j; i < i##_end_; ++ i)
#define For(i, j ,k) for (register int i = (j), i##_end_ = (k); i <= i##_end_; ++ i)
#define Fordown(i, j, k) for (register int i = (j), i##_end_ = (k); i >= i##_end_; -- i)
#define Set(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
#define Cpy(a, b) memcpy(a, b, sizeof(a))
#define SZ(a) ((int)(a.size()))
#define ALL(a) a.begin(), a.end()
#define pb(a) push_back(a)
#define mp(a, b) make_pair(a, b)
#define x first
#define y second
#define INF (0x3f3f3f3f)
#define INF1 (2139062143)
#define y1 wozenmezhemecaia 
#ifdef hany01
#define debug(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
#else
#define debug(...)
#endif

template<typename T> inline bool chkmax(T &a, T b) { return a < b ? a = b, 1 : 0; }
template<typename T> inline bool chkmin(T &a, T b) { return b < a ? a = b, 1 : 0; }

inline char getChar(){
    static char buf[100000], *p1=buf, *p2=buf;
    return p1 == p2 && (p2 = (p1 = buf) + fread(buf, 1, 100000, stdin), p1 == p2) ? EOF : *p1 ++;
}
inline int read(){
    register char ch=getChar(); register int sum=0;
    while (!(ch >= '0' && ch <= '9')) ch = getChar();
    while(ch >= '0' && ch <= '9') sum = sum * 10 + ch - 48, ch = getChar();
    return sum;
}

const int maxn = 4005;

static PII f[maxn];
static int w[maxn][maxn], n;

inline int calc(int i, int j) { return w[i][i] - w[j][i] - w[i][j] + w[j][j] + f[j].x; }

inline void check(int dt) {
    static PII stk[maxn];
    register int top, pos, bot;
    stk[top = bot = 1] = mp(0, 0);

    For(i, 1, n) {
        if (bot < top && stk[bot + 1].x <= i) ++ bot;
        f[i].x = calc(i, pos = stk[bot].y) + dt;
        f[i].y = f[pos].y + 1;
        if (calc(n, i) < calc(n, stk[top].y)) {
            stk[++ top] = mp(n, i);
            for (register int l, r, mid; ; ) {
                l = max(stk[top - 1].x, i + 1), r = n;
                while (l < r) {
                    mid = (l + r) >> 1;
                    if (calc(mid, stk[top - 1].y) > calc(mid, i)) r = mid; else l = mid + 1;
                }
                stk[top].x = l;
                if (stk[top].x > stk[top - 1].x) break;
                stk[top - 1] = stk[top], -- top;
            }
        }
    }
}

int main()
{
#ifdef hany01
    File("bzoj5311");
#endif

    static int l, r, mid, k;

    n = read(), k = read();
    For(i, 1, n) For(j, 1, n)
        w[i][j] = w[i - 1][j] + w[i][j - 1] - w[i - 1][j - 1] + (i <= j ? read() : (read(), 0));

    l = 0, r = w[n][n];
    while (l < r) {
        mid = (l + r) >> 1, check(mid);
        if (f[n].y <= k) r = mid; else l = mid + 1;
    }
    check(l);
    printf("%d\n", f[n].x - l * k);

    return 0;
}