【BZOJ3930】【CQOI2015】选数（递推 & 莫比乌斯反演）

最新推荐文章于 2020-09-19 00:25:36 发布

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Description

我们知道，从区间 $[L,H]$ （ $L$ 和 $H$ 为整数）中选取 $N$ 个整数，总共有 $(H-L+1)^N$ 种方案。小z很好奇这样选出的数的最大公约数的规律，他决定对每种方案选出的 $N$ 个整数都求一次最大公约数，以便进一步研究。然而他很快发现工作量太大了，于是向你寻求帮助。你的任务很简单，小z会告诉你一个整数 $K$ ，你需要回答他最大公约数刚好为 $K$ 的选取方案有多少个。由于方案数较大，你只需要输出其除以 $1000000007$ 的余数即可。

Solution

2.1 递推

先把左右区间同除 $k$ ，然后考虑求互质的数列。
用 $f[i]$ 表示选出的数的最大公约数 $i$ 且选出的数不全相同的方案数。此时先求出 $[L,H]$ 之间 $i$ 的倍数的个数 $x$ ，暂时令 $f[i]=x^N-x$
然后从后往前递推并减去其倍数的贡献即可。
至于为什么必须是选出的数不全相同，这是因为有可能选出的数全部相同、但是公约数并不在范围之内。
另外，如果 $k$ 在左右区间内，注意将答案加上 $1$ 。

2.2 莫比乌斯反演

待填坑。。。

Code

3.1

/**************************
 * Au: Hany01
 * Date: Jan 18th, 2018
 * Prob: bzoj3930 & cqoi2015 递推
 * Email: hany01@foxmail.com
**************************/

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
#define rep(i, j) for (register int i = 0, i##_end_ = (j); i < i##_end_; ++ i)
#define For(i, j, k) for (register int i = (j), i##_end_ = (k); i <= i##_end_; ++ i)
#define Fordown(i, j, k) for (register int i = (j), i##_end_ = (k); i >= i##_end_; -- i)
#define Set(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
#define Cpy(a, b) memcpy(a, b, sizeof(a))
#define fir first
#define sec second
#define pb(a) push_back(a)
#define mp(a, b) make_pair(a, b)
#define ALL(a) (a).begin(), (a).end()
#define SZ(a) ((int)(a).size())
#define INF (0x3f3f3f3f)
#define INF1 (2139062143)
#define Mod (1000000007)
#define debug(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)

template <typename T> inline bool chkmax(T &a, T b) { return a < b ? a = b, 1 : 0; }
template <typename T> inline bool chkmin(T &a, T b) { return b < a ? a = b, 1 : 0; }

inline int read()
{
    register int _, __; register char c_;
    for (_ = 0, __ = 1, c_ = getchar(); c_ < '0' || c_ > '9'; c_ = getchar()) if (c_ == '-') __ = -1;
    for ( ; c_ >= '0' && c_ <= '9'; c_ = getchar()) _ = (_ << 1) + (_ << 3) + (c_ ^ 48);
    return _ * __;
}

inline void File()
{
#ifdef hany01
    freopen("bzoj3930.in", "r", stdin);
    freopen("bzoj3930.out", "w", stdout);
#endif
}

const int maxn = 100005;

int n, k, l, r, len, f[maxn], tmp;

inline int Pow(LL a, int b) {
    LL Ans = 1;
    for ( ; b; a = a * a % Mod, b >>= 1) if (b & 1) (Ans *= a) %= Mod;
    return Ans;
}

inline void mod(int &x) { if (x < 0) x += Mod; }

inline int calc(int x) { return floor(r * 1.0 / x) - floor((l - 1) * 1.0 / x); }

int main()
{
    File();
    n = read(), k = read(), l = read(), r = read();
    l = ceil(l * 1.0 / k), r = floor(r * 1.0 / k), len = r - l;
    Fordown(i, len, 1) {
        tmp = calc(i),
        f[i] = Pow(tmp, n) - tmp;
        for (register int j = 2; j * i <= len; ++ j) mod(f[i] -= f[j * i]);
    }
    if (l <= 1) ++ f[1];
    if (f[1] == Mod) f[1] = 0;
    printf("%d\n", f[1]);
    return 0;
}
//雪纷纷，掩重门，不由人不断魂，瘦损江梅韵。
//    -- 关汉卿《大德歌·冬》