【BZOJ 3884】上帝与集合的正确用法（扩展欧拉定理降幂）

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欧拉定理

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本文介绍使用扩展欧拉定理解决指数幂模运算问题的方法。对于无穷连幂形式2^2^... mod p的问题，文章给出了具体算法，并通过递归方式计算结果，确保计算次数不超过log_2 p。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

给定 $p$ ，求

2^{2^{2^{2^{2^{2^{2^{\dots}}}}}}} mod p

$2^{2^{2^{2^{2^{2^{2^{\cdots}}}}}}} \bmod p$

Solution

直接用扩展欧拉定理：
当 $x > \varphi(p)$ 时，有：

a x \equiv a x mod φ (p) + φ (p) (mod p)

$a ^ {x}\equiv a ^ {x\bmod \varphi(p)+\varphi(p)}\pmod{p}$
由于有无限个

22 $2$ ，所以肯定大于

φ (p)

$\varphi(p)$ ，直接用上面的公式降幂即可。
开始只知道

p=1p=1 $p=1$ 时，答案是

00 $0$ ，不断递归，用std::map保存答案。
另外，这样最多只会算

l o g_{2} p

$log_2p$ 次，因为

φ(φ(⋯φ(p)))φ(φ(⋯φ(p))) $\varphi(\varphi(\cdots\varphi(p)))$ 的运算中，如果本来是奇数，就会变成比它小的偶数，偶数至少会变成原来的一半。（另外BZOJ4869也用到了这个性质）

Code

/**************************
Au: Hany01
Date: Dec 24th, 2017
Prob: bzoj3884
Email: hany01@foxmail.com
**************************/

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;
typedef pair<int, int> PII;
#define rep(i, j) for (register int i = 0, i##_end_ = (j); i < i##_end_; ++ i)
#define For(i, j, k) for (register int i = (j), i##_end_ = (k); i <= i##_end_; ++ i)
#define Fordown(i, j, k) for (register int i = (j), i##_end_ = (k); i >= i##_end_; -- i)
#define Set(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
#define Cpy(a, b) memcpy(a, b, sizeof(a))
#define fir first
#define sec second
#define pb(a) push_back(a)
#define mp(a, b) make_pair(a, b)
#define ALL(a) (a).begin(), (a).end()
#define SZ(a) ((int)(a).size())
#define INF (0x3f3f3f3f)
#define INF1 (2139062143)

template <typename T> inline bool chkmax(T &a, T b) { return a < b ? a = b, 1 : 0; }
template <typename T> inline bool chkmin(T &a, T b) { return b < a ? a = b, 1 : 0; }

inline int read()
{
    int _, __; char c_;
    for (_ = 0, __ = 1, c_ = getchar(); c_ < '0' || c_ > '9'; c_ = getchar()) if (c_ == '-') __ = -1;
    for ( ; c_ >= '0' && c_ <= '9'; c_ = getchar()) _ = (_ << 1) + (_ << 3) + (c_ ^ 48);
    return _ * __;
}

inline void File()
{
#ifdef hany01
    freopen("bzoj3884.in", "r", stdin);
    freopen("bzoj3884.out", "w", stdout);
#endif
}


inline int Pow(ll a, int b, int Ha) {
    ll ret = 1;
    for ( ; b; b >>= 1, a = a * a % Ha) if (b & 1) (ret *= a) %= Ha;
    return (int)ret;
}

inline int phi(int x)
{
    register int t = x;
    for (register int i = 2; i * i <= x; ++ i)
        if (!(x % i)) { t -= t / i; while (!(x % i)) x /= i; }
    if (x > 1) t -= t / x;
    return t;
}

int f(int x)
{
    if (x == 1) return 0;
    int phi_x = phi(x);
    return Pow(2, f(phi_x) + phi_x, x);
}

int main()
{
    File();
    register int T;
    T = read();
    while (T --) printf("%d\n", f(read()));
    return 0;
}
//枝上柳绵吹又少。天涯何处无芳草。
//    -- 苏轼《蝶恋花·春景》