排序——快速排序

排序——快速排序

1. 思想

​ 快速排序主要运用的是分治的思想。例如对一个典型的子数组 $A[p...r]$进行快速排序，主要分成三步：

（1）分解

​ 数组 $A[p...r]$ 被分成两个（可能为空）子数组 $A[p...q-1]$ 和 $A[q+1...r]$ ，使得 $A[p...q-1]$中的每个元素都小于等于 $A[q]$，而 $A[q]$ 也小于等于$A[q+1...r]$ 里的每个元素。其中，计算 q 也是划分过程的一部分；

（2）解决

​ 通过递归调用快速排序，对子数组 $A[p...q-1]$ 和 $A[q+1...r]$ 分别进行排序。

（3）合并

​ 因为子数组都是原址排序的，因此不需要合并操作，即此时数组 $A[p...r]$已经是有序的。

2. 代码

​ 利用快速排序算法对数组 a 的所有元素进行排序（从小到大），则开始时需要调用 Quiksort 函数：

void Quiksort(int *a, int p, int r) {
    int q;

    if(p < r) {
        q = Partition(a, p, r);
        Quiksort(a, p, q-1);
        Quiksort(a, q+1, r);
    }
}

该函数的关键在于 Partition，即划分的过程，该函数如下：

int Partition(int *a, int p, int r) {
    int x, i, j, temp;

    x = a[r];
    i = p - 1;

    for(j=p; j<r; j++) {
        if(a[j] < x) {
            temp = a[++i];
            a[i] = a[j];
            a[j] = temp;
        }
    }
    temp = a[i+1];
    a[i+1] = x;
    a[r] = temp;
    return i+1;
}

partition 函数总是选择一个 $x=a[r]$ 作为主元,并围绕它来划分子数组 $A[p...r]$。随着程序的进行，数组被划分成 4 个（可能有空的）区域：

（1）若 $p \leq k \leq i $，则 $A[k]\le x$;

（2）若 $i+1\le k\le j-1$，则 $A[k]>x$;

（3）若 $k = r $，则 $A[k]=x$;

（4）若 $j\le k\le r-1$，还未到达。

3. 性能分析

（1）稳定性

​ 快速排序是不稳定的。举个例子，对 [3, 8, 4, 5A, 6, 5B]进行快速排序，最后的结果 5B 会排到 5A 前面。

（2）原地排序

​ 快速排序是原地排序。

（3）时间复杂度

​ 最坏情况下是 $O(n^2)$；最好情况是 $O(nlgn)$。

（4）空间复杂度

​ $O(lgn)$