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已于 2024-03-19 00:27:59 修改

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文章标签： c++ 算法动态规划

于 2022-04-02 22:57:10 首次发布

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/hexiaoguozhima/article/details/123921499

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1)01背包问题（https://www.acwing.com/problem/content/2/）

//二维代码：
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
const ll nl=1e3+5;
using namespace std;
//不用赋初值，从0个物品中选体积不超过j或者从i个物品中选体积不超过0，最大价值就是0 
ll f[nl][nl];//从前i个里面选，体积不超过j的最大价值
//状态计算f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-v[i]]+w[i]
//从最后一个物品选不选划分成两块
//f[i-1][j](不选第i个物品，体积不超过j，这种情况在上一层即i-1层就选好了)这里着重搞清楚层次之间的关系。 
//f[i-1][j-v[i]]+w[i](选第i个物品，即从i-1个物品中选，体积不超过j-v[i]，最后再加上w[i])
ll v[nl];//第i个物品的体积 
ll w[nl];//第i个物品的价值 
int main(){
	ll n,m;
	cin>>n>>m;
	ll i,j;
	for(i=1;i<=n;i++){
		cin>>v[i];
		cin>>w[i];
	}
	for(i=1;i<=n;i++){
		for(j=1;j<=m;j++){
			f[i][j]=f[i-1][j];
			if(j>=v[i]){
				f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
			}
		}
	}
	cout<<f[n][m];//从n个物品中选体积不超过m的最大价值。
}

//一维：不优化时间，优化空间
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
const ll nl=1e3+5;
using namespace std;
ll f[nl];
ll v[nl];
ll w[nl];
int main(){
	ll n,m;
	cin>>n>>m;
	ll i,j;
	for(i=1;i<=n;i++){
		cin>>v[i];
		cin>>w[i];
	}
	for(i=1;i<=n;i++){
		for(j=m;j>=v[i];j--){
		   f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);//搞清楚层序关系，
		   //每次运算都用到的是上一层数据。
		}
	}
	cout<<f[m];
}

2）完全背包问题（https://www.acwing.com/problem/content/description/3/）每个物品可以选无限个。

//纯暴力，会超时，复杂度1e9
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
const ll nl=1e3+5;
using namespace std;
//不用赋初值，从0个物品中选体积不超过j或者从i个物品中选体积不超过0，最大价值就是0 
ll f[nl][nl];//从前i个里面选，体积不超过j的最大价值
//状态计算f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]
//从第i个物品选几个划分成k+1块
//f[i-1][j](不选第i个物品，体积不超过j，这种情况在上一层即i-1层就选好了)这里着重搞清楚层次之间的关系。 
//f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i](选K个第i个物品，即从i-1个物品中选，体积不超过j-k*v[i]，最后再加上k*w[i])
ll v[nl];//第i个物品的体积 
ll w[nl];//第i个物品的价值 
int main(){
	ll n,m;
	cin>>n>>m;
	ll i,j;
	for(i=1;i<=n;i++){
		cin>>v[i];
		cin>>w[i];
	}
	for(i=1;i<=n;i++){
		for(j=0;j<=m;j++){
			f[i][j]=f[i-1][j];
		    for(ll k=1;k*v[i]<=m;k++){
		    	if(j>=k*v[i]){
		    		f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]);
				}
			}
		}
	}
	cout<<f[n][m];//从n个物品中选体积不超过m的最大价值。
}

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
const ll nl=1e3+5;
using namespace std;
//不用赋初值，从0个物品中选体积不超过j或者从i个物品中选体积不超过0，最大价值就是0 
ll f[nl][nl];//从前i个里面选，体积不超过j的最大价值
//状态计算f[i][j]=f[i-1][j]+f[i][j-v[i]]+w[i]
//与之前暴力的做法不同，此时进行了状态计算的简化
//  f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i],f[i-1][j-2*v[i]]+2*w[i]....)
//f[i][j-v[i]]=max(      ,f[i-1][j-v[i]],     f[i-1][j-2*v[i]]+w[i]....)
//对比可以发现f[i][j]与f[i][j-v[i]]差了一个w[i],(当然还差了f[i-1][j]，之后取max补上就行) 
ll v[nl];//第i个物品的体积 
ll w[nl];//第i个物品的价值 
int main(){
	ll n,m;
	cin>>n>>m;
	ll i,j;
	for(i=1;i<=n;i++){
		cin>>v[i];
		cin>>w[i];
	}
	for(i=1;i<=n;i++){
		for(j=0;j<=m;j++){
			f[i][j]=f[i-1][j];
		    if(j>=v[i]){
		    	f[i][j]=max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);
			}
		}
	}
	cout<<f[n][m];//从n个物品中选体积不超过m的最大价值。
}

3)多重背包问题（物品数量有了限制，其实再加一个判断条件就行）(https://www.acwing.com/problem/content/4/)

//纯暴力，因为数据小不超时
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
const ll nl=1e3+5;
using namespace std;
//不用赋初值，从0个物品中选体积不超过j或者从i个物品中选体积不超过0，最大价值就是0 
ll f[nl][nl];//从前i个里面选，体积不超过j的最大价值
//状态计算f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]
//从第i个物品选几个划分成k+1块
//f[i-1][j](不选第i个物品，体积不超过j，这种情况在上一层即i-1层就选好了)这里着重搞清楚层次之间的关系。 
//f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i](选K个第i个物品，即从i-1个物品中选，体积不超过j-k*v[i]，最后再加上k*w[i])
ll v[nl];//第i个物品的体积 
ll w[nl];//第i个物品的价值 
ll s[nl];//第i个物品的数量 
int main(){
	ll n,m;
	cin>>n>>m;
	ll i,j;
	for(i=1;i<=n;i++){
		cin>>v[i];
		cin>>w[i];
		cin>>s[i];
	}
	for(i=1;i<=n;i++){
		for(j=0;j<=m;j++){
			f[i][j]=f[i-1][j];
		    for(ll k=1;k*v[i]<=m&&k<=s[i];k++){
		    	if(j>=k*v[i]){
		    		f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]);
				}
			}
		}
	}
	cout<<f[n][m];//从n个物品中选体积不超过m的最大价值。
}

4）多重背包问题（对时间复杂度有了要求）
（https://www.acwing.com/problem/content/description/5/）

//f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]...f[i-1][j-s*v[i]]+s*w[i])
//f[i][j-v[i]]= max(    f[i-1][j-v[i]]     ...f[i-1][j-k*v[i]]+s*w[i],f[i-1][j-(s+1)*v[i]])
//因为多了一个(s+1),所以不能像完全背包问题那样优化 
//将多重背包问题转移成01背包问题
//运用了1 2 4 2^n可以表示2^(n+1)-1内所有数的性质
//将这些物品分成多份，每份是2^k，这样就可以分开存储体积和价值，就转换成01背包问题 
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
const ll nl=1e5+5;
using namespace std;
ll v[nl];
ll w[nl];
ll f[nl];//运用二维会超内存 
int main(){
	ll n,m;
	cin>>n>>m;
	ll i,j;
	ll cnt=1;
	for(i=1;i<=n;i++){
		ll a,b,s;
		cin>>a>>b>>s;
		ll k=1;
		while(k<=s){
			v[cnt]=k*a;
			w[cnt]=k*b;
			s-=k;
			k*=2;
			cnt++;
		}
		if(s>0){//如果s最后大于0，说明那就把s再加上就可以表示原来S内所有数了
		//性质证明：针对10 可以分为1 2 4 3
		//1~4可以表示1~7，加上3就可以表示4到10，这样1~7 4~10都可以表示，则1~10就可以表示了 
			v[cnt]=s*a;
			w[cnt]=s*b;
			cnt++;
		}
	}	
	for(i=1;i<=cnt-1;i++){
		for(j=m;j>=v[i];j--){
			f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
		}
	}
	cout<<f[m];
}

5)分组背包问题(https://www.acwing.com/problem/content/9/)

//从第i个组选哪一个划分成s[i]块(与多重背包区别)
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
const ll nl=1e2+5;
using namespace std;
ll v[nl][nl],w[nl][nl],s[nl];
ll f[nl][nl];
ll k;
int main(){
    ll n,m;
    cin>>n>>m;
    ll i,j;
    ll k=1;
    for(i=1;i<=n;i++){
        cin>>s[i];
        for(j=0;j<s[i];j++){
            cin>>v[i][j];
            cin>>w[i][j];
        }
    }
    for(i=1;i<=n;i++){
        for(j=0;j<=m;j++){
        f[i][j]=f[i-1][j];
            for(k=0;k<s[i];k++){
                if(v[i][k]<=j){
                    f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-v[i][k]]+w[i][k]);
                }
            }
        }
    }
    cout<<f[n][m];
}

6）数字三角形（https://www.acwing.com/problem/content/description/900/）赋初值很重要

//状态计算：f[i][j]=max(f[i-1][j-1],f[i-1][j])+a[i][j]
//状态划分：到第i，j个点的路径最大值取决于i-1,j-1个点与i-1,j个点 
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
const ll nl=1e4+5;
const ll inf=1e9;
using namespace std;
ll a[nl][nl];
ll f[nl][nl];
ll res=0;
int main(){
    	ll n;
    	cin>>n;
    	ll i,j;
    	for(i=1;i<=n;i++){//从1开始，避免i-1<0的情况出现
    		for(j=1;j<=i;j++){//同理
    			cin>>a[i][j];
			}
		}
		for(i=1;i<=n;i++){//有些情况f[i-1][j]不存在，所以直接赋值负无穷小
			for(j=0;j<=i+1;j++){
				f[i][j]=-inf;
			}
		}
		f[1][1]=a[1][1];//赋初值
		for(i=2;i<=n;i++){
			for(j=1;j<=i;j++){
				f[i][j]=max(f[i-1][j-1]+a[i][j],f[i-1][j]+a[i][j]);//状态划分：到第i行第j列的路径最大值，可以划分成到第i-1行第j-1列和到第i-1行第j列的最大值+a[i][j];
			}
		}
		res=-inf;//别忘记res赋初值，因为题目中路径值可能为负数
		for(i=1;i<=n;i++){
			res=max(res,f[n][i]);//最后一层遍历
		}
		cout<<res;
}

7)最长上升子序列(https://www.acwing.com/problem/content/897/)

//状态计算：f[i]=max(f[i],f[j])1<=j<=i
//状态划分：到第i个数的最长序列等于*它之前的*所有比它小的数*的最长序列+1 
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
const ll nl=1e4+5;
const ll inf=1e9;
using namespace std;
ll a[nl];
ll f[nl];
ll res=0;
int main(){
    ll n;
	cin>>n;
	ll i,j;
	for(i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
	}
	for(i=1;i<=n;i++){
		f[i]=1;
		for(j=1;j<=i;j++){
			if(a[j]<a[i]){
			   f[i]=max(f[i],f[j]+1);	
			}	
		}
	}
	ll res=1;
	for(i=1;i<=n;i++){
		res=max(res,f[i]);
	}
	cout<<res;
}

8)最长公共子序列(https://www.acwing.com/problem/content/899/)

//状态计算：f[i][j]=f[i-1][j-1],f[i-1][j-1]+1,f[i-1][j],f[i][j-1]
//状态划分:a中到第i个字母和b中到第j个字母的最长公共系序列的长度
//不选第a[i]和b[j],选a[i]不选b[j]，不选a[i]选b[j]，a[i]和b[j]都选
//第二种和第三种的状态不好表示，但可以用f[i][j-1]。。代替，这里运用了集合的包含关系。 
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
const ll nl=1e4+5;
const ll inf=1e9;
using namespace std;
ll f[nl][nl];
char a[nl],b[nl];
int main(){
    ll n,m;
    cin>>n>>m;
    ll i,j;
    scanf("%s%s",a+1,b+1);
    for(i=1;i<=n;i++){
    	for(j=1;j<=m;j++){
    		f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i-1][j]);
    		if(a[i]==b[j]){
    			f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-1]+1);
			}
		}
	}
	cout<<f[n][m];  
}

9)最短编辑距离 (https://www.acwing.com/problem/content/description/904/)

//状态计算：f[i][j]=min(f[i][j-1]+1(增操作),f[i-1][j]+1(删操作))
//f[i][j]=min(f[i][j],f[i-1][j-1]+1/+0(改操作))  
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
const ll nl=1e4+5;
const ll inf=1e9;
using namespace std;
ll f[nl][nl];
char a[nl],b[nl];
int main(){
    ll n,m;
    cin>>n;
    scanf("%s",a+1); 
    ll i,j;
    cin>>m;
    scanf("%s",b+1);
    for(i=1;i<=n;i++){
    	f[i][0]=i;//让a的前i个字符与b的前0个字符匹配需要i次删操作 
	} 
	for(i=1;i<=m;i++){
		f[0][i]=i;//让a的前0个字符与b的前i个字符匹配需要i次增操作 
	}
    for(i=1;i<=n;i++){
    	for(j=1;j<=m;j++){
    		f[i][j]=min(f[i-1][j]+1,f[i][j-1]+1);
    		if(a[i]==a[j]){
    			f[i][j]=min(f[i-1][j-1],f[i][j]);
			}else{
				f[i][j]=min(f[i-1][j-1]+1,f[i][j]);
			}
		}
	}
	cout<<f[n][m];
}

10编辑距离(https://www.acwing.com/problem/content/901/)
这是个冤种题
memset()会占用复杂度。。。。
求字符串长度要用.size()别用sizeof()

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
const ll nl=1e3+5;
using namespace std;
ll n,m;
string a[nl],b[nl];
ll f[nl][nl];
ll dp(string al,string bl,ll nn,ll mm){
    for(ll i=1;i<=nn;i++){
        f[i][0]=i;//赋初值，a中前i个和b中前0个匹配，需要进行i次删操作。
    }
    for(ll i=1;i<=mm;i++){
        f[0][i]=i;
    }
    for(ll i=1;i<=nn;i++){
        for(ll j=1;j<=mm;j++){
            f[i][j]=min(f[i-1][j]+1,f[i][j-1]+1);//括号前面代表删操作（a中前i-1和b中前j个匹配），后面代表增操作
            if(al[i]==bl[j]){
                f[i][j]=min(f[i][j],f[i-1][j-1]);//代表改操作
            }else{
                f[i][j]=min(f[i][j],f[i-1][j-1]+1);
            }
        }
    }
    return f[nn][mm];
}
int main(){
    cin>>n;
    cin>>m;
    for(ll i=0;i<n;i++){
        string s=" ";
        cin>>a[i];
        a[i]=s+a[i];
    }
    for(ll i=0;i<m;i++){
        string s=" ";
        ll k;
        cin>>b[i]>>k;
        //memset(f,0,sizeof(f));
        b[i]=s+b[i];
        ll num=0;
        for(ll j=0;j<n;j++){
            //memset(f,0,sizeof(f));//占用时间复杂度
            ll z=dp(a[j],b[i],a[j].size(),b[i].size());
            //cout<<z<<" ";
            if(z<=k){
                num++;
            }
        }
        cout<<num<<endl;
    }
}

11)石子合并(https://www.acwing.com/problem/content/284/)

//状态计算:f[l][r]=min(f[l][k]+f[k+1][r]+a[r]-a[l-1],f[l][r]);l<=k<=r-1
//划分区间，看区间最后是从哪两个区间合并而来 
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
const ll nl=1e3+5;
const ll inf=1e9;
using namespace std;
ll a[nl];
ll f[nl][nl];
int main(){
    ll n,m;
	cin>>n;
	for(ll i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
		a[i]+=a[i-1];
	}
	//i表示区间长度，区间长度为1时不用赋初值，因为代价为0 
	for(ll i=2;i<=n;i++){
		for(ll j=1;j+i-1<=n;j++){
			ll l=j,r=j+i-1;
			f[l][r]=inf;//赋初值，不然都是0。。。
			for(ll k=l;k<=r-1;k++){
				f[l][r]=min(f[l][k]+f[k+1][r]+a[r]-a[l-1],f[l][r]);
			}
		}
	}
	cout<<f[1][n];
}