BZOJ-2440 (莫比乌斯函数)

Sanzo00

于 2019-02-01 09:15:56 发布

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分类专栏： ACM

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本文介绍了一种解决特定数学问题的算法，该问题涉及找到第K个不是完全平方数的正整数倍的数。通过使用二分查找和容斥原理，算法能够在大范围内高效地找出满足条件的数。

题目链接

Description

小 X 自幼就很喜欢数。但奇怪的是，他十分讨厌完全平方数。他觉得这些
数看起来很令人难受。由此，他也讨厌所有是完全平方数的正整数倍的数。然而
这丝毫不影响他对其他数的热爱。
这天是小X的生日，小 W 想送一个数给他作为生日礼物。当然他不能送一
个小X讨厌的数。他列出了所有小X不讨厌的数，然后选取了第 K个数送给了
小X。小X很开心地收下了。
然而现在小 W 却记不起送给小X的是哪个数了。你能帮他一下吗？

Input

包含多组测试数据。文件第一行有一个整数 T，表示测试
数据的组数。
第2 至第T+1 行每行有一个整数Ki，描述一组数据，含义如题目中所描述。

Output

含T 行，分别对每组数据作出回答。第 i 行输出相应的
第Ki 个不是完全平方数的正整数倍的数。

Sample Input

Sample Output

HINT

对于 100%的数据有 1 ≤ Ki ≤ 10^9，T ≤ 50

思路

不喜欢完全平方数及其整数倍，符合要求的数字拆分成质因数的幂次为1
查询的范围大，二分枚举答案
对于区间[1, X]中的数我们可以把不符合条件的数删除，剩下的数就是符合条件的数。我们删掉所有 ${i^2}$ 的倍数，但是这样可能会有重复比如删除所有 ${2^2，3^2}$ 的倍数中 ${6^2}$ 被重复删掉了。这里就要用上容斥原理。我们发现符合莫比乌斯函数的性质：奇数个质因子系数为-1，偶数为+1，其余为零

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <map>
#include <vector>
#include <set>
#include <queue>
#include <stack>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#define lowbit(x) (x & (-x))
#define mem(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
#define rep(i, a, n) for (int i = a; i < n; ++i)
#define mid ((l + r)>>1)
#define lc rt<<1
#define rc rt<<1|1
typedef long long LL;
#define maxn 100005

using namespace std;

int mo[maxn], vis[maxn], prime[maxn];

void init () {
	mo[1] = 1;
	mem(vis, 0);
	int len = 0;
	for (int i = 2; i < maxn; ++i) {
		if (!vis[i]) {
			prime[len++] = i;
			mo[i] = -1;
		}
		for (int j = 0; j < len && (LL)prime[j] * i < maxn; ++j) {
			vis[ i * prime[j] ] = 1;
			if (i % prime[j] == 0) {
				mo[ i * prime[j] ] = 0;
				break;
			}
			mo[ i * prime[j] ] = -mo[i];
		}
	}
}
int solve(int x) {
	int sum = 0;
	for (LL i = 1; i <= sqrt(x); ++i) {
		sum += mo[i] * (x / (i*i));
	}
	return sum;
}

int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
    // freopen("in.txt", "r", stdin);
    // freopen("out.txt", "w", stdout);
#endif

    init();
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while (T--) {
    	int n;
    	scanf("%d", &n);
    	LL l = 1, r = 2e9;
    	while (l < r) {
    		if (solve(mid) >= n) r = mid;
    		else l = mid + 1;
    	}
    	printf("%d\n", l);
    }
    return 0;
}