动态规划 最大子段和问题

最大m子段和问题：给定由n个整数（可能为负）组成的序列a1、a2、a3...,an,以及一个正整数m，要求确定序列的m个不想交子段，使这m个子段的总和最大！
         设b(i,j)表示数组a的前j项中i个子段和的最大值， 并且第i个子段包含a[j](1<=i<=m,i<=j<=n)，则所求的最优值为maxb(m,j)(m<=j<=n)。 在这种定义下b(i,j)的递推公式：b(i,j)=max{b(i,j-1)+a[j],maxb(i-1,t)+a[j](i-1<=t<j)}(1<=i<=m,i<=j<=n)；b(i,j-1)+a[j]表示第i个包含a[j-1]和a[j]，maxb(i-1,t)+a[j]表示第i个子段仅包含a[j]。
         这中定义很强悍，尤其是黄色标记部分，直接把b(i,j)把a[j]限制在第i段内，然后再分a[j-1]和a[j]都在子段内和只有a[j]，特殊的当m=1时，b(1,j)=max(b(1,j-1)+a[j],a[j]),1<=j<=n;如果翻译成文字的话，就是说在数组j位置的最大和子段（包含a[j]）等于数组在j-1位置的最大和子段（包含a(j-1)）加上a[j]和最大和子段只有a[j]的情况的最优值，当然所求解可以表示为maxb(1,j)(1<=j<=n)； 其实如果光从b(1,j)=max(b(1,j-1)+a[j],a[j])这个等式本生出发我们很容易的观察出b(1,j-1)的正负直接决定着b(1,j)的取值，然后我们可以产生这中想法，如果b(1,j-1)为正，我就继续加，如果为负我就重新开始加！！！ 这样的话，写成程序就更简单，其实就是前面我写的最大子段和的动态规划方法的解释。。。（今天终于明白了！！！）

代码如下：

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1. #include<stdio.h>  
2.   
3. int MaxSum1(int m,int n,int *a)//m为切割段数，n为数组大小  
4. {  
5.     int i,j,k,sum;  
6.     if(n<m||m<1)  
7.         return 0;  
8.     int **b =new int *[m+1];  
9.   
10.     for(i=0;i<=m;i++)  
11.         b[i]=new int[n+1];  
12.     for(i=0;i<=m;i++)  
13.         b[i][0]=0;  
14.     for(j=1;j<=n;j++)  
15.         b[0][j]=0;  
16.   
17.     for(i=1;i<=m;i++)  
18.         for(j=i;j<=n-m+i;j++)  
19.         {  
20.             if(j>i)  
21.             {  
22.                 b[i][j]=b[i][j-1]+a[j];  
23.                 for(k=i-1;k<j;k++)  
24.                 {  
25.                     if(b[i][j]<b[i-1][k]+a[j])  
26.                         b[i][j]=b[i-1][k]+a[j];  
27.                 }  
28.             }  
29.             else  
30.             {  
31.                 b[i][j]=b[i-1][j-1]+a[j];  
32.             }  
33.         }  
34.     sum=0;  
35.     for(j=m;j<=n;j++)  
36.         if(sum<b[m][j])  
37.             sum=b[m][j];  
38.     delete b;  
39.     return sum;  
40. }  
41.   
42. //教科书上又进行了代码优化，如下  
43. int MaxSum(int m,int n,int *a)  
44. {  
45.     int i,max,j,sum;  
46.     if(n<m||m<1)  
47.         return 0;  
48.   
49.     int *b=new int[n+1];  
50.     int *c=new int[n+1];  
51.     b[0]=0;  
52.     c[0]=0;  
53.     for(i=1;i<=m;i++)  
54.     {  
55.         b[i]=b[i-1]+a[i];  
56.         c[i-1]=b[i];  
57.         max=b[i];  
58.         for(j=i+1;j<=i+n-m;j++)  
59.         {  
60.             b[j]=b[j-1]>c[j-1]?b[j-1]+a[j]:c[j-1]+a[j];  
61.             c[j-1]=max;  
62.             if(max<b[j])  
63.                 max=b[j];  
64.         }  
65.         c[i+n-m]=max;  
66.     }  
67.   
68.     sum=0;  
69.     for(j=m;j<=n;j++)  
70.         if(sum<b[j])   
71.             sum=b[j];  
72.     return sum;  
73. }  
74.   
75.   
76. int main()  
77. {  
78.     int n,m;  
79.     int a[100],i;  
80.     while(scanf("%d %d",&m,&n)!=EOF)  
81.     {  
82.         for(i=1;i<=n;i++)  
83.             scanf("%d",&a[i]);  
84.         printf("%d\n",MaxSum(m,n,a));  
85.     }  
86.     return 0;  
87. }