图算法--kruskal最小生成树算法(并查集版)

最新推荐文章于 2021-05-19 18:40:16 发布

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本文详细介绍了Kruskal算法在求解最小生成树问题中的应用，重点讲解了使用不相交集合数据结构来避免形成回路的方法，并通过一个具体实例展示了算法的实现过程。

Kruskal比较适用于稀疏图，是一种贪心算法:为使生成树上边的权值和最小，则应使生成树中每一条边的权值尽可能地小。

具体做法:找出森林中连接任意两棵树的所有边中，具有最小权值的边，如果将它加入生成树中不产生回路，则它就是生成树中的一条边。这里的关键就是如何判断"将它加入生成树中不产生回路"。

《算法导论》提供的一种方法是采用一种"不相交集合数据结构"，也就是并查集了。具体的实现看代码好了，反正核心内容就是如果某两个节点属于同一棵树(Find_Set)，那么将它们合并(Union)后一定会形成回路。(详见维基百科：http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%B6%E6%9F%A5%E9%9B%86)

编写程序:对于如下一个带权无向图，给出所有边以及权值，用kruskal算法求最小生成树。

kruskal

输入数据:

11
A B 7
A D 5
B C 8
B D 9
B E 7
C E 5
D E 15
D F 6
E F 8
E G 9
F G 11

输出:

A - D : 5
C - E : 5
D - F : 6
A - B : 7
B - E : 7
E - G : 9
Total:39

代码如下，其实代码可以优化的地方很多，例如当生成树的边数已经等于n-1时即可停止循环...因为不是ACM题，故优化省略不写，只当做算法学习...

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define MAX 100

/* 定义边(x,y)，权为w */
typedef struct
{
	int x, y;
	int w;
}edge;

edge e[MAX];
/* rank[x]表示x的秩 */
int rank[MAX];
/* father[x]表示x的父节点 */
int father[MAX];
int sum;

/* 比较函数，按权值(相同则按x坐标)非降序排序 */
int cmp(const void *a, const void *b)
{
	if ((*(edge *)a).w == (*(edge *)b).w)
	{
		return (*(edge *)a).x - (*(edge *)b).x;
	}
	return (*(edge *)a).w - (*(edge *)b).w;
}

/* 初始化集合 */
void Make_Set(int x)
{
	father[x] = x;
	rank[x] = 0;
}

/* 查找x元素所在的集合,回溯时压缩路径 */
int Find_Set(int x)
{
	if (x != father[x])
	{
		father[x] = Find_Set(father[x]);
	}
	return father[x];
}

/* 合并x,y所在的集合 */
void Union(int x, int y, int w)
{
	sum += w;
	if (x == y) return;
	/* 将秩较小的树连接到秩较大的树后 */
	if (rank[x] > rank[y])
	{
		father[y] = x;
	}
	else
	{
		if (rank[x] == rank[y])
		{
			rank[y]++;
		}
		father[x] = y;
	}
}

/* 主函数 */
int main()
{
	int i, n;
	int x, y;
	char chx, chy;
	FILE *file = freopen("in14.txt", "r", stdin);

	/* 读取边的数目 */
	scanf("%d", &n);
	getchar();

	/* 读取边信息并初始化集合 */
	for (i = 0; i < n; i++)
	{
		scanf("%c %c %d", &chx, &chy, &e[i].w);
		getchar();
		e[i].x = chx - 'A';
		e[i].y = chy - 'A';
		Make_Set(i);
	}

	/* 将边排序 */
	qsort(e, n, sizeof(edge), cmp);

	sum = 0;

	for (i = 0; i < n; i++)
	{
		x = Find_Set(e[i].x);
		y = Find_Set(e[i].y);
		if (x != y || (!x && !y))
		{
			printf("%c - %c : %d\n", e[i].x + 'A', e[i].y + 'A', e[i].w);
			Union(x, y, e[i].w);
		}
	}

	printf("Total:%d\n", sum);
	system("pause");
	return 0;
}