字符串编辑距离

    字符串的编辑距离，又称为Levenshtein距离。是利用字符操作，把字符串A转换成字符串B所需要的最少操作数。其中，字符操作包括：

• 删除一个字符
• 插入一个字符
• 修改一个字符

    例如对于"hello"和"hell"，可以通过插入一个'o'和删除一个'o'来达到目的。

    一般来说，两个字符的编辑距离越小，则它们越相似。如果两个字符串相同，则它们的编辑距离为0.可以分析出，两个字符串的编辑距离肯定不超过它们的最大长度（可以通过先把短串的每一位都修改成长串对应位置的字符，然后插入长串中的剩下字符。）

问题描述：

    给定两个字符串A和B，求字符串A至少经过多少步字符操作变成字符串B。

问题分析：

（1）首先考虑A串的第一个字符

    假设存在两个字符串A和B，长度分别为lenA和lenB。首先考虑第一个字符，如果是一样的，所以只需要计算A[2……lenA]和B[2……lenB]之间的距离即可。那么如果两个字符串的第一个字符不一样的话，那么要考虑把第一个字符变成一样的：

• 修改A串的第一个字符成B串的第一个字符，之后只需要计算A[2……lenA]和B[2……lenB]之间的距离即可；
• 删除A串的第一个字符，之后只需要计算A[2……lenA]和B[1……lenB]之间的距离即可；
• 把B串的第一个字符插入到A串的第一个字符之前，之后仅需要计算A[1……lenA]和B[2……lenB]的距离即可。

（2）接下来只需要考虑A串的第i个字符和B串的第j个字符。

    这个时候我们不考虑A的前i-1个字符和B的第j-1个字符。如果A串的第i个字符和B的第j个字符相等，即A[i]=B[j]，则只需要计算A[i+1……lenA]和B[j+1……lenB]之间的距离即可。如果不想等，则：

• 修改A的第i个字符为B的第j个字符，之后仅需要计算A[i+1……lenA]和B[j+1……lenB]之间的距离即可；
• 删除A的第i个字符，之后只需要计算A[i+1……lenA]和B[j……lenB]之间的距离即可；
• 把B串的第j个字符插入到A串的第i个字符之前，之后仅需要计算A[i.....lenA]和B[j+1......lenB]之间的距离即可。

构建动态规划方程：

用dp[i][j]表示A串从第i个字符开始和B串第j个字符开始的距离。则从上面的分析，不难推导出动态规划方法：

代码如下：

public class 字符串编辑距离 {
	public static int editDistance(String source,String target){
		int len1=source.length();
		int len2=target.length();
		//第一个字符串的长度为i的子串到第二个字符串的长度为j的子串的编辑距离
		int[][] dp=new int[len1][len2];
		for(int i=0;i>len1;i++){
			dp[i][0]=i;
		}
		for(int j=0;j<len2;j++){
			dp[0][j]=j;
		}
		for(int i=1;i<len1;i++){
			for(int j=1;j<len2;j++){
				int addOp=dp[i][j-1]+1;
				int delOp=dp[i-1][j]+1;
				int changeOp=dp[i-1][j-1]+(source.charAt(i-1)==target.charAt(j-1)?0:1);
				dp[i][j]=Math.min(Math.min(addOp, delOp), changeOp);
			}
		}
		return dp[len1-1][len2-1];
	}
	
	public static void main(String[] args){
		String source="sailn";
		String target="failing";
		System.out.println(editDistance(source, target));
	}

}