格拉姆矩阵(Gram Matrix)

本文深入探讨了Gram矩阵的概念及其在深度学习风格迁移中的应用。通过解析Gram矩阵如何反映向量间的关系,揭示了它在捕捉图像风格特征方面的独特作用。文章还提供了计算Gram矩阵的MATLAB示例。

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1、Gram矩阵的定义

n维欧式空间中任意k个向量之间两两的内积所组成的矩阵,称为这k个向量的格拉姆矩阵(Gram matrix)

根据定义可以看到,每个Gram矩阵背后都有一组向量,Gram矩阵就是由这一组向量两两内积得到的,先说一下向量内积是做什么的。

一个重要的应用就是可以根据内积判断向量a和向量b之间的夹角和方向关系,具体来说:

a·b>0    方向基本相同,夹角在0°到90°之间
a·b=0    正交,相互垂直  
a·b<0    方向基本相反,夹角在90°到180°之间 

简单来说就是内积可以反映出两个向量之间的某种关系或联系。Gram矩阵是两两向量的内积组成的,所以Gram矩阵可以反映出该组向量中各个向量之间的某种关系。

风格迁移中的Gram矩阵


深度学习中经典的风格迁移大体流程是:
1. 准备基准图像和风格图像
2. 使用深层网络分别提取基准图像(加白噪声)和风格图像的特征向量(或者说是特征图feature map)
3. 分别计算两个图像的特征向量的Gram矩阵,以两个图像的Gram矩阵的差异最小化为优化目标,不断调整基准图像,使风格不断接近目标风格图像

这里边比较关键的一个是在网络中提取的特征图,一般来说浅层网络提取的是局部的细节纹理特征,深层网络提取的是更抽象的轮廓、大小等信息。这些特征总的结合起来表现出来的感觉就是图像的风格,由这些特征向量计算出来的的Gram矩阵,就可以把图像特征之间隐藏的联系提取出来,也就是各个特征之间的相关性高低。如果两个图像的特征向量的Gram矩阵的差异较小,就可以认定这两个图像风格是相近的。

       格拉姆矩阵可以看做feature之间的偏心协方差矩阵(即没有减去均值的协方差矩阵),在feature map中,每个数字都来自于一个特定滤波器在特定位置的卷积,因此每个数字代表一个特征的强度,而Gram计算的实际上是两两特征之间的相关性,哪两个特征是同时出现的,哪两个是此消彼长的等等,同时,Gram的对角线元素,还体现了每个特征在图像中出现的量,因此,Gram有助于把握整个图像的大体风格。有了表示风格的Gram Matrix,要度量两个图像风格的差异,只需比较他们Gram Matrix的差异即可。

 

3、计算实例

      MATLAB计算程序及结果:

x1=[3,3]',  
x2=[4,3]',  
x3=[1,1]',  
G=[x1'*x1,x1'*x2,x1'*x3;  
    x2'*x1,x2'*x2,x2'*x3;  
    x3'*x1,x3'*x2,x3'*x3] 
         
G =

    18    21     6

    21    25     7

     6     7     2   

### GRAM矩阵的概念 GRAM矩阵是一种在线性代数中广泛使用的工具,其核心思想是对一组向量计算它们两两之间的内积。对于给定的一组列向量 \( \{v_1, v_2, ..., v_n\} \)GRAM矩阵定义为这些向量之间所有可能的内积组合形成的矩阵: \[ G_{ij} = \langle v_i, v_j \rangle \] 其中 \( \langle v_i, v_j \rangle \) 表示向量 \( v_i \) 和 \( v_j \) 的内积[^4]。 --- ### GRAM矩阵的计算方法 假设有一个矩阵 \( A \in \mathbb{R}^{m \times n} \),它的每一列表示一个向量,则该矩阵对应的GRAM矩阵可以通过如下方式计算: \[ G = A^T A \] 这里 \( A^T \)矩阵 \( A \) 的转置矩阵。通过这种运算,我们可以快速获得每一对列向量之间的内积结果。 #### Python实现GRAM矩阵 以下是基于Python的一个简单实现例子: ```python import numpy as np def compute_gram_matrix(A): """ 计算输入矩阵A的Gram矩阵。 参数: A (numpy.ndarray): 输入矩阵 返回: numpy.ndarray: Gram矩阵 """ return np.dot(A.T, A) # 示例 A = np.array([[1, 2], [3, 4]]) G = compute_gram_matrix(A) print("Matrix A:") print(A) print("\nGram Matrix of A:") print(G) ``` 上述代码展示了如何利用NumPy库中的 `np.dot` 函数来高效地完成GRAM矩阵的计算。 --- ### GRAM矩阵的应用场景 1. **特征提取与表示** 在计算机视觉领域,GRAM矩阵被用来捕捉图像的不同区域或通道之间的关系。通过对卷积神经网络(CNN)中间层的激活图计算GRAM矩阵,可以获得关于图像风格的信息。 2. **最小二乘法优化** 当解决超定方程组时(即未知参数少于约束条件),GRAM矩阵常用于构建正规方程。例如,在直线拟合问题中,\( X^T X \beta = X^T y \) 中的 \( X^T X \) 就是一个典型的GRAM矩阵形式[^3]。 3. **正交化过程辅助** 在格拉姆-施密特正交化过程中,GRAM矩阵可以帮助验证当前基底是否已经标准化,并指导后续调整方向[^2]。 --- ### 线性代数视角下的意义 从线性变换的角度来看,如果矩阵 \( Q \) 是由标准正交基构成的标准正交矩阵,则有 \( Q^T Q = I \),这实际上也是GRAM矩阵的一种特殊情形——此时GRAM矩阵退化成了单位矩阵。因此,GRAM矩阵不仅能够反映一般情况下各维度间的关系强度,还能作为衡量空间结构的重要指标。 ---
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