专升本笔记记载-第二章-导数_csdn heihu577-优快云博客

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导数
错题笔记&精选例题&课外知识

导数

导数引告

导数描述的是变化率, 我们使用生活中的例子进行举例.

例如: 冬天中, 水杯0s - 10s从 100° - 0° 的变化.

平均每1秒, 温度变化多少?

那么公式会变为这样:

此时我们得到了平均变化率, 此时我们应该知道, 第3秒的时候水温变化了多少. 但是我们却不知道3.5秒, 0.8时, 温度瞬间变为多少.

导数的定义

通过上面的例子我们知道.

时间: 0s -> 10s

温度: 0° -> 100°

温度平均变化率: (100° - 0°) / (10s - 0s) = 10°/s

那么如果有个问题, 在第2秒时, 温度瞬间变为多少, 此时我们就应该引入极限.

当然了, 生活中除了这个温度变化率, 当然还有山坡陡峭等其他例子, 这里不做其他演示. 在数学中, 我们用函数来进行计算.

函数的导数

定义式

增量式

这里我们引入一个概念

△x如何理解呢, 我们可以看一下数轴:

其实也就是x-x0的差值, 不难理解, 那么带入到我们之前的公式后变为了:

注:

△x可以换成其余字母 h t 等.
整体思想, △x 可以替换为 □
谁趋向于0, 谁就是 △x

引申公式

增量式例题

例题1&解题 (增量式)

题目:

解题:

例题2&解题 (引申公式)

题目:

解题:

例题3&解题 (引申公式)

例题4&解题 (引申公式)

例题5&解法 (详细)

定义式例题

例题1&解题 (利用定义式)

图中利用了定义式, 将结果算出.

例题2&解题 (利用定义式)

例题3&解题

极限得出常数项, 则分母趋0, 分子也趋0. 将a带入发现分母是零比零型, 所以f(x)等于0.

定义式建立极限关系

例题1&解法 (拼凑法)

题目:

解题:

例题2&解法

解题思路大同小异.

左右导数定义

导数定义

理解: 导数源于极限, 极限存在则是左右极限相等, 而导数存在, 也对应了左右导数相等

函数在某点x0可导条件:

可导的必要条件: 可导函数必连续, 连续必极限存在.

理解

为什么尖点处不可导: 因为尖点处的切线可以做任意多个, 所以不可导.

做题技巧: 如果函数加上了绝对值, 那么就会产生尖点(绝对值函数的零点), 就不可导了.

例题1&解法

解题应用

这里记载一下遇到"可导"两个字眼的思考方向:

例题1&解法

题目:

解法:

例题2&解法

题目:

解法:

不可导情况 (了解)

不可导的情况有两种

左导≠右导

导数为∞

例题1&解法

这里需要注意绝对值问题, 当趋向于0的右侧时, 我们可以模拟的将绝对值看为0.xxx, 然后来判断绝对值的正负号, 当倾向于0的左侧时, 我们可以模拟的将绝对值看为-0.xxx.

例题2&解法

解题上大同小异, 绝对值表达式的正负根据1的左侧右侧来判断. 左导数与右导数不相等, 那么不可导.

例题3&解法

例题4&解法

导数四则运算, 复合运算法则

各大类函数的求导公式

常数函数

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任何一个常数求导, 都等于0.

幂函数

指数

对数

三角函数

反三角函数

四则运算

拓展 (了解即可): (uvw)’ = u’vw + uv’w + uvw’

补充: dy/dx & f’(x) 的关系

例题1&解法

例题2&解法

复合运算

原则: 从外向里, 层层求导, 每层相乘.

例题1&解法

初等函数求导

例题1&解法

例题2&解法

复合函数求导

例题1&解法

例题2&解法

例题3&解法

抽象函数求导

例题1&解法

例题2&解法 (经典)

复合函数常见公式

当我们对一个复杂表达式求导时, 尽可能去化简它, 常见公式如下:

尽可能的避免分式求导.

例题1&解法

例题2&解法 (经典)

题目:

解法:

各类函数求导 (另类)

分段函数求导

求导原则:

分段点两侧, 直接求导
中间分段点处, 用定义求导

可导 = 可微

例题1&解法

题目:

解法:

答案选D.

例题2&解法

题目:

解法: 左极限右极限求出b, 左导右导求出a

隐函数求导

隐函数定义

解法

公式法

正规解法

将 y 看为 y(x), 然后使用复合函数求导法则即可.如图:

例题1&解法

题目:

解法:

例题2&解法

例题3&解法 (经典)

题目:

解法:

例题3&解法

题目:

解法:

例题5&解法 (经典)

例题6&解法 (必看)

例题7&解法 (必看)

参数方程求导

参数方程定义

定义: x与y通过中间变量t, 间接建立的函数关系式.

求导原则

原理

例题1&解法

例题2&解法 (必看)

例题3&解法 (必看)

例题1&解法

例题2&解法 (经典)

题目:

解法:

例题3&解法 (隐函数+参数方程)

题目:

解法:

幂指函数求导

例如:

称为幂指函数, 它有自己独立一套的求导方法.

求导方法

对数求导法

遇到幂指函数, 例如:
等式两边同时取对数, 如图:
对两边同时求导. (前者是复合函数, 后者是乘法求导公式)

图中等式后边存在错误, 应该是 u'lnv+u(lnv)', 前导后不导, 前不导后导.
因为左边存在y分之1, 那么等式两边同乘y

图中等式后边存在错误, 注意前面两项需要加上括号.
将y等式右边的y替换成原式

简单例题1&解法

例题2&解法 (经典)

题目:

解题:

公式变形法

简单例题1&解法

两种方法的选择

例题1&解法

例题2&解法

变限积分求导

定义

求导方法

例题1&解法 (简单)

例题2&解法 (经典错误)

针对考题

例题1&解法

高阶导数

河北大纲: 会求某些简单函数的 n 阶导数.

定义

拓展

题型及解法

题型一: 求具体导数

例题1&解法 (引子)

通过这道题我们可以得出:

拓展:

例题2&解法 (经典)

例题3&解法

例题大总汇

题型二: 求n阶导数表达式

这类题目的解法为: 求2次或3次导数, 找规律. 遇到sin或cos或分式使用现有的公式.

例题1&解法

例题2&解法 (三角函数n阶公式)

例题3&解法 (分式)

函数的微分

函数微分的概念

微分的另一种形式

例题1&解法

例题2&解法

例题总结

导数的几何应用

切线的引入

iMath_tangent

图中蓝色部分为函数图像, Q点是函数上的某一点例如坐标 (x, y), P点也是函数上的某一点 例如坐标 (x0, y0).

我们知道, 两点确定一条直线 (图中Q与P最初的绿色部分), Q与P两点确定的一条线叫做割线.

而在Q趋向于P的过程的最终结果, 会形成一条特有的线 (图中橙色部分), 叫做切线. 那么就诞生了导数函数的最初公式.

定义及公式

题型总结

题型一: 切点[x0, f(x0)] 已知

题目1&解法

题目2&解法

题目:

解法:

例题3&解法 (超详细)

题型二: 切点未知情况

设切点为[a, f(a)] 得到切线 y-f(a)=f(a)(x-a)
利用题干的切线满足条件算出a的值

题目1&解法

题目2&解法

题目3&解法 (相切导数相同得出)

题目4&解法 (平行求点)

题目5&解法 (外一点, 超详细)

导数确定函数单调性

定义及概念

设 f(x) 在区间 [a, b] 可导, 那么有如下规则:

若 f’(x) > 0, 那么 f(x) 在 [a, b] 中为单调增.
若 f’(x) < 0, 那么 f(x) 在 [a, b] 中为单调减.
若 f’(x0) = 0, 那么称 x0 为 驻点.

理解图2:

例题1&解法 (经典)

得出求导结果后, 我们去查找可能极值点 (驻点, 一阶导不存在的点).

例题2&解法 (小题)

例题3&解法

函数的极值

定义及概念

极值: 指f(x)的局部最值
1. 极大值: 指局部范围最大值
2. 极小值: 指局部范围最小值
极值点的出处
1. f'(x)=0 的点 -> (驻点)
2. f’(x) 不存在的点 (无定义点) -> 不可导点
极值的判断
1. 利用单调性来进行判断 (大题使用较多)
  1. 先增后减为极大值
  2. 先减后增为极小值
2. 利用二阶导f’'(x0)判断. (小题使用较多)
  1. f’'(x0) < 0 则可以判断出是极大值
  2. f’'(x0) > 0 则可以判断出是极小值
求极值的步骤
1. 确定 f(x) 的定义域
2. 令 f’(x)=0, 找到驻点, 以及 f(x) 无定义点
3. 利用这些点, 分割定义域, 成子区间
4. 列表讨论子区间内的单调性, 即 f’(x) 正负性极大值以及极小值.