计算共形几何学习笔记3-流形学习理论

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于 2024-05-08 15:28:42 首次发布
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顾险峰老师2023年计算共形几何暑期课程学习笔记3

流形学习理论（流形结构学习）

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拓扑空间中的闭集A、B，一定存在一个函数使得在A上为0，B上为1.

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m维流形嵌入n维空间，如果n足够大，那流形嵌入的方式会变得足够简单。
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神经网络：

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一个多变量连续函数可以用两个单变量连续函数的组合逼近。（有限元逼近）

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这种分片结构的可视化：输入空间取一个点，会激活一些神经元，得到的激活路径称为激活路径。

两个输入点激活路径相同称两点等价。

将输入空间进行胞腔分解，，每个胞腔内是等价的点。得到输入空间和输出空间的胞腔分解。
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胞腔之间的映射是线性的，不同胞腔是分片线性的（左-右 编码-解码）

定义网络的学习能力：给定一个网络，他能将输入空间分解成胞腔数的上限

学习难度：

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一个复杂流形无法直接得到一对一的映射，会有重叠。故需对流形切片分段一对一映射，切片数的下界代表学习难度。

如果一个网络要能学会一个流形，必须学习能力大于难度。

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如何检测网络学习能力：

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构造曲线达到学习能力上界

流形学习理论（概率测度学习）

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