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和式的计算一.什么是和式.我们要表示一个数列的前n项之和,我们可以采用如下的方法:a1+a2+⋯+aka_1+a_2+\dots+a_ka1​+a2​+⋯+ak​其中(a_i)表示数列中的第i项。和式中的每个元素aia_iai​称为项。我们必须让它看起来清楚明白。比如说：1+2+⋯+2n−11+2+\dots+2^{n-1}1+2+⋯+2n−1它是表示一个等比数列的n项之和还是前2n−...

看一个例子：∑i=0ai2\sum_{i=0}a_i^2∑i=0​ai2​现在我们尝试使用多种方法来求这个式子的封闭形式——即通项公式。方法0：可以查找公式。最好的资料来源是Sloane所著的《Handbook of Integer Sequences》，里面列出了数以千计的序列的封闭形式。可以去参考。还有些软件如：Axiom、MACSYMA、Maple或者Mathematica可以处理一些庞...

线性递推数列的特征根解法1.线性递推方程简单的说，对于一个数列，设f(n)f(n)f(n)为该数列的第n项，如果我们找到了一个递推式，使得f(n)可以表示为它前面的若干项的常系数一次多项式，则称它是一个线性递推数列。如斐波那契数列：f(n)=f(n−1)+f(n−2)f(n)=f(n-1)+f(n-2)f(n)=f(n−1)+f(n−2) 就是一个线性递推方程。卡特兰数列：f(n)=∑i=...

大步小步算法 BSGS(baby steps giant steps)BSGS是用来解决离散对数问题的，即ax≡b(modp)a^x \equiv b \pmod pax≡b(modp)。其中，a,b,p已知，且a和p互质，求x。根据欧拉定理，我们知道aϕ(p)≡1(modp)a^{\phi(p)} \equiv 1 \pmod paϕ(p)≡1(modp),所以，而ϕ(p)<p\...

对原序列ai{a_i}ai​做一个差分，即bi=ai−ai−1b_i=a_i-a_{i-1}bi​=ai​−ai−1​,得到b序列。一个b序列对答案的贡献为 N−∑i=1k−1biN-\sum_{i=1}^{k-1}b_iN−∑i=1k−1​bi​有多少个这样的序列呢？因为每个bib_ibi​的取值范围为1~m。所以，一共有mk−1m^{k-1}mk−1个。所有的b序列对答案的贡献为：an...