多元函数第四：欧式几何（2）直线，超平面，半空间，球体，球面

直线

欧式几何中一个最基本的公理是两点确定一条直线。我们都知道，这条公理对于2维和3维空间成立。n维空间中的直线，也可以用两点$x_1$和$x_2$完全确定。一般地，过$x_1$和$x_2$的直线是由集合
{ x=tx1+(1−t)x2:t∈R} \{x=tx_1+(1-t)x_2: t\in\mathbb{R}\} { x=tx1​+(1−t)x2​:t∈R}
中的点构成。特别地，当$t=1$时，$x=x_1$；当$t=0$时$x=x_2$。若$0<t<1$，则$x$落在$x_1$和$x_2$之间。若$t<0$或$t>1$，则$x$落在$x_1$和$x_2$之外，如下图。

由上图不难看到，集合
{ x=tx1+(1−t)x2:0≤t≤1} \{x=tx_1+(1-t)x_2: 0\leq t \leq 1\} { x=tx1​+(1−t)x2​:0≤t≤1}
是端点为$x_1$和$x_2$的线段。为了简便，我们通常记作
[x1,x2]={ x=tx1+(1−t)x2:0≤t≤1}. [x_1, x_2]=\{x=tx_1+(1-t)x_2: 0\leq t \leq 1\}. [x1​,x2​]={ x=tx