词法分析与正则文法（二）

集合的运算

设L和D都是某些字符串的集合，定义

$L\cup D$为两个集合的并。
$LD$为两个集合的连接，即$LD=\{\alpha\beta: \alpha \in L, \beta\in D\}$。
$L^k$为两集合L的k次自连接。例如$L^3=LLL=(LL)L$。特别地，记$L^0=\{\epsilon\}$，其中$\epsilon$为我们常提到的空串。
$L^*=\bigcup_{k=0}^{\infty}L^k$为L的所有有限次自连接的并。

正则表达式的定义

设$\Sigma$是一个非空字符集。那么在该字符集上满足下面条件的表达式，成为正则表达式。

空表达式是正则表达式，它对应的语言为$\{\epsilon\}$。
任意的$a\in\Sigma$有a为正则表达式，它对应的语言为$\{a\}$。
如果r和s是正则表达式，那么$(r)|(s)$是正则表达式，它对应的语言为$L(r)\cup L(s)$其中$L(r)$和$L(s)$分别为r和s对应的语言。
如果r和s是正则表达式，那么$(r)(s)$是正则表达式，它对应的语言为$L(r)L(s)$。
如果r是正则表达式，那么$(r)^*$是正则表达式，它对应的语言为$(L(r))^*$。

根据上面的定义，若r是正则表达式，我们有
$r?=\epsilon|r$是正则表达式，它代表满足模式$r$的字符串出现0次或一次。
$r+=rr^*$是正则表达式，它代表满足模式$r$的字符串出现至少一次。
$r\{n,m\}=r^n|r^{n+1}|r^{n+2}|...|r^{m}$是正则表达式，它代表满足模式$r$的字符串出现至少n次且至多出现m次，其中$n\leq m$。

正则表达式与产生式的关系

一个正则表达式可以定义一个字符串集合，而一个字符串集合，就可以定义成一种语言。我们知道，产生式就是用来定义语言的。接下来，我们将证明，任何正则表达式，都可以通过相应的产生式来定义。

空正则表达式对应的产生式为空产生式

$$V\rightarrow\epsilon$$

对于任意的$a\in\Sigma$，表达式a对应的产生式为

$$V\rightarrow a$$

设r是正则表达式，则表达式$r^*$对应的产生式为

$$V\rightarrow\epsilon\\ V\rightarrow RV\\ R\rightarrow r$$
其中$R\rightarrow r$表示的是与表达式r相对应的产生式组成的集合。

设r和s是正则表达式，则表达式$rs$对应的产生式为

$$V\rightarrow RS\\ R\rightarrow r\\ S\rightarrow s$$

设r和s是正则表达式，则表达式$r|s$对应的产生式为

$$V\rightarrow r\\ V\rightarrow s$$

其他词法记号的定义

有了正则表达式的定义以后，其他词法记号的定义可以很容易给出。

我们先定义一些字符集合。记为所有大小写字母组成的集合。记数字组成的集合。记为所有ascii字符组成的集合。注意这些ascii字符都是指它的可打印形式。例如，制表符为‘\t’或者‘\009’。

变量标识符，它对应的产生式为

数值常量，它对应的产生式为

注意：在一般的正则表达式规定中，会用中括号[]来描述一个集合，用句点.表示匹配任何一个字符。在我们上面三个产生式中，用花括号{}来描述集合，而句点（.）是普通字符。
上面3个产生式中，第一个产生式生成整数（无小数点），第二个产生式生成包含整数部分的浮点数，第三个产生式生成不包含整数部分的浮点数。

字符常量和字符串常量的定义比较简单。

$$<char-const>\rightarrow'<ascii>'\\ <string-const>\rightarrow"<ascii>*"\\ $$