素数基本（埃氏筛法/线性筛法）

最新推荐文章于 2025-07-11 16:09:32 发布

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本文介绍了素数检测的基本方法，包括直接枚举、优化枚举、埃氏筛法及区间筛法等，并探讨了线性筛法实现，旨在提供高效算法解决素数相关问题。

一、检查n是否为素数

最简单思路：所有可能的因数全部试一遍。

int gg(int n)
{
    for(int i=2;i<n;i++){
        if((n%i)==0)return 0;//有因数就不是素数咯
    }
    return 1;
}

进一步思考：没必要枚举所有的数，每一个小于n^(1/2)的因数i，一定有一个大于n^(1/2)的因数j与之对应，也就是i*j=n，所以枚举小于等于n^(1/2)的因数即可

int gg(int n)
{
    for(int i=2;i*i<=n;i++){
        if((n%i)==0)return 0;
    }
    return 1;
}

二、约数枚举

上面已经说过，不需要枚举所有因数，枚举出某小因数以后算出对应的大因数即可。

vector<int> gg(int n)
{
    vector<int> a;
    for(int i=2;i*i<=n;i++){
        if((n%i)==0){
            a.push_back(i);
            if((n/i)!=i)a.push_back(n/i);//根号n的情况不要重复添加
        }
    }
    return a;
}

三、埃氏筛法

只对一个整数操作，O(N)，已经足够了，如果对许多整数进行素性检测，还有更高效的算法，比如埃氏筛法。

问题：枚举n以内所有素数

操作：先把所有整数列出来，然后把2的倍数全部剔除，然后是三的，以此类推，遍历所有素数，把倍数全部划去。

对于每个数字i，如果没被划去，他一定是素数，因为他不是任何2到i-1数字的倍数。然后就开始划它的倍数就好。

int a[maxx];
int b[maxx+1];
int gg(int n)
{
    int p=0;//记录素数个数
    for(int i=0;i<n+1;i++)b[i]=1;
    b[0]=0;
    b[1]=0;
    //准备完毕
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(b[i]){
            a[p++]=i;//记录素数和个数
            for(int j=2*i;j<=n;j+=i)b[j]=0;//剔除倍数
        }
    }
    return p;//返回素数个数
}

四、区间筛法

给定整数a和b，请问区间[a,b)内有多少个素数？

思路：之前说过，因为b以内合数的最小质因数一定不超过sqrt(b),如果有sqrt(b)以内的素数表的话，就可以把筛选法用在[a,b)上了,先分别做好[2,sqrt(b))的表和[a,b)的表，然后从[2,sqrt(b))的表中筛得素数的同时，也将其倍数从[a,b)的表中划去，最后剩下的就是区间[a,b)内的素数了。

//不gg了，这次就来个标准一点的吧
typedef long long ll;
bool is_prime[maxn];
bool is_prime_small[maxn];
void segment_sieve(ll a,ll b) 
{
     for(ll i=0;i*i<b;++i) is_prime_small[i]=true; //初始化
     for(ll i=0;i<b-a;++i) is_prime[i]=true; //初始化，注意下标变化，为了省空间
     for(ll i=2;i*i<b;++i) {
         if(is_prime_small[i]) {
             for(ll j=2*i;j*j<b;j+=i) is_prime_small[j]=false;  //筛选[2,sqrt(b));
             //(a+i-1)/i得到最接近a的i的倍数，最低是i的2倍，然后筛选
             for(ll j=max(2LL,(a+i-1)/i)*i;j<b;j+=i) is_prime[j-a]=false;
         }
     }
}

五、线性实现

筛法很多数被处理了不止1遍，比如6，在素数为2的时候处理1次，为3时候又处理一次，因此又造成了不必要处理。O(nloglogn)已经基本可以满足一般需要了。

本代码保证每个合数只会被它的最小质因数筛去，因此每个数只会被标记一次，所以时间复杂度是O(n)

证明略

话不多说，上板子

#include<cstdio>
#include<cstring>
#define MAXN 100005
#define MAXL 1299710
int prime[MAXN];
int check[MAXL];
int tot = 0;
memset(check, 0, sizeof(check));
for (int i = 2; i < MAXL; ++i)
{
    if(!check[i])prime[tot++] = i;
    for (int j = 0; j < tot; ++j)//****************************************
    {
        if (i * prime[j] > MAXL)break;//*******************
        check[i*prime[j]] = 1;
        if (i % prime[j] == 0)break;//******
    }
}

素数基本就这些内容咯。。。。