hdu5275 (插值法)

最新推荐文章于 2021-01-11 22:19:02 发布

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分类专栏：多项式插值文章标签：插值

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本文详细介绍了两种常用的插值方法——拉格朗日插值法和牛顿插值法，并通过实例代码展示了这两种方法的具体应用过程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

首先要明确，所谓插值，就是多项式的点值表达式转系数表达式。
对于n个x不相同的点(xi,yi),可以唯一确定一个阶为n的多项式

y = c 0 + c 1 * x + c 2 * x 2 + c 3 * x 3 + . . . + c n - 1 * x n - 1

$y=c_0+c_1*x+c_2*x^2+c_3*x^3+...+c_{n-1}*x^{n-1}$
一般的，有两种常用的插值方法：
1.拉格朗日插值法
直接构造多项式

y = \sum k = 0 n - 1 y k \prod j \neq k ( x j - x k ) \prod j \neq k (x - x j)

$y=\sum^{n-1}_{k=0}\frac{y_k}{\prod_{j\ne k}(x_j-x_k)}\prod_{j\ne k}(x-x_j)$
简单粗暴，证明只需要把

x0,x1,..xn−1 $x_0,x_1,..x_{n-1}$ 带入，看对应y值是否与给定的相同就可以了
2.牛顿插值
虽然拉格朗日插值法比较简单也便于记忆，但对于一些要对子串进行插值的题目，牛顿插值显然更加方便
令

y = c 0 + c 1 * (x - x 0) + c 2 * (x - x 1) * (x - x 0) + . . . c n - 1 * (x - x 0) * . . . * (x - x n - 2)

$y=c_0+c_1*(x-x_0)+c_2*(x-x_1)*(x-x_0)+...c_{n-1}*(x-x_0)*...*(x-x_{n-2})$
注意对于

x0,x1..xn−1 $x_0,x_1..x_{n-1}$ 进行插值，上式并不包含

xn−1 $x_{n-1}$ ,而计算

c0,c1...cn−1 $c_0,c_1...c_{n-1}$ 的方法就是分别把

(x0,y0),(x1,y1)...(xn−1,yn−1) $(x_0,y_0),(x_1,y_1)...(x_{n-1},y_{n-1})$ 代入，看上去很麻烦，但是引入差商表之后，

ci $c_i$ 的计算显得异常容易。
定义

x i 的 0 阶 差 商 为 y i, x i 的 k 阶 差 商 f (i, k) = f ( i + 1 , k - 1 ) - f ( i , k - 1 ) x i + k - x i

$x_i的0阶差商为y_i,x_i的k阶差商f(i,k)=\frac{f(i+1,k-1)-f(i,k-1)}{x_{i+k}-x_i}$
根据定义进行计算可以发现

c0,c1...ci $c_0,c_1...c_i$ 其实就是

f(0,0),f(0,1)...f(0,i) $f(0,0),f(0,1)...f(0,i)$
更进一步的，假如你想对

(xl,yl),(xl+1,yl+1)...(xr,yr) $(x_l,y_l),(x_{l+1},y_{l+1})...(x_{r},y_{r})$
对应插值所得的系数就是

f(l,0),f(l,1)...f(l,r−l) $f(l,0),f(l,1)...f(l,r-l)$

对于上面插值的理解，可以参考我hdu5275的代码
首先是很适合给子串插值的牛顿插值

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long Int;
const int M=1e9+7;
int rev[250002];
int dp[3002][3002];
int x[3002],y[3002];
inline int getrev(int x){return x<0?-rev[-x]:rev[x];}
int main()
{
    rev[1]=1;
    for(int i=2;i<=250000;i++)rev[i]=(M-M/i)*(Int)rev[M%i]%M;
    int n;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",x+i,y+i);
        for(int i=1;i<=n;i++)dp[0][i]=y[i];
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j+i<=n;j++)
                dp[i][j]=((dp[i-1][j+1]-dp[i-1][j])*(Int)getrev(x[i+j]-x[j])%M+M)%M;
        int m;scanf("%d",&m);
        while(m--)
        {
            int l,r,q;scanf("%d%d%d",&l,&r,&q);
            int ans=0,cur=1;
            for(int i=0;i<=r-l;i++)
            {
                ans+=dp[i][l]*(Int)cur%M;
                if(ans>=M)ans-=M;
                cur=(cur*(Int)(q-x[l+i])%M+M)%M;
            }printf("%d\n",ans);
        }
    }
}

然后是拉格朗日插值法，对于本题需要一些观察和技巧

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int Maxn=3002,M=1e9+7;
typedef long long Int;
int x[Maxn],y[Maxn];
int n,m;
int dp[Maxn][Maxn];
int rev[250002],frev[250002];
int powmod(int x,int y)
{
    int t=x,ret=1;
    while(y)
    {
        if(y&1)ret=ret*(Int)t%M;
        y>>=1;
        t=t*(Int)t%M;
    }
    return ret;
}
inline int getrev(int x)
{
    if(x<0)return frev[-x];
    return rev[x];
}
int main()
{
    for(int i=1;i<=250000;i++)rev[i]=powmod(i,M-2),frev[i]=powmod(M-i,M-2);
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",x+i,y+i);
        scanf("%d",&m);
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            dp[i][i]=1;
            for(int j=i-1;j>=1;j--)dp[i][j]=dp[i][j+1]*(Int)getrev(x[i]-x[j])%M;
            for(int j=i+1;j<=n;j++)dp[i][j]=dp[i][j-1]*(Int)getrev(x[i]-x[j])%M;
        }
        while(m--)
        {
            int l,r,q;
            scanf("%d%d%d",&l,&r,&q);
            int cs=-1,ans=0;
            int tot=1;
            for(int i=l;i<=r;i++)
            {
                if(x[i]!=q)tot=((q-x[i])*(Int)tot%M+M)%M;
                else{cs=i;}
            }
            if(cs!=-1)
            {
                ans=y[cs]*(Int)dp[cs][l]%M*dp[cs][r]%M*tot%M;
            }
            else
            {
                for(int k=l;k<=r;k++)
                {
                    ans+=y[k]*(Int)dp[k][l]%M*dp[k][r]%M*tot%M*getrev(q-x[k])%M;
                    if(ans>=M)ans-=M;
                }
            }printf("%d\n",ans);
        }
    }
}