图的可视化问题、havel-hakimi算法、Erdős–Gallai定理

图的可视化问题、havel-hakimi算法、Erdős–Gallai定理

简单无向图的可视化问题：

给定一个度数序列D={ a1......an},a⊂Z+，aiD=\{a_1......a_n\},a\subset Z^+，a_iD={ a1​......an​},a⊂Z+，ai​表示$i$号点在某个简单无向图中的度数，问是否有一个简单无向图满足这个给定的度数序列$D$，若有，构造一个，称其为$D$的可视化

$havel-hakimi$算法：

给出一个$D$并构造简单无向图的方法：

将$D(x$从大到小排序，使$a_{p_1}\ge ......\ge a_{p_n}$，我们从$p_1$号点向$p_2,p_3......p_{a_{p_1}+1}$号点分别连边，然后$p_1$的度数限制已经满足，新的序列{ sort{ ap2−1......apap1+1−1......apn}}\{sort\{a_{p_2}-1......a_{p_{a_{p_1}+1}}-1......a_{p_n}\}\}{ sort{ ap2​​−1......apap1​​+1​​−1......apn​​}}记为$D^{{}^{\prime }}$,(sort{ }sort\{\}sort{ }表示按照下标重新排回原来的顺序，虽然可视化的判定与序列元素的顺序无关，但这样更加直观)，继续对$D^{{}^{\prime }}$进行上述操作，重复$n$次直到序列为空，若某次操作出现了非法（如某个元素变为负数），即为原序列不能可视化，证明见下。

$havel-hakimi$定理：$D$能可视化(1)$\leftrightarrow D^{{}^{\prime }}$能可视化(2)

证明：(2)$\to$(1):若(2)成立，按照上文的方法给$1$号点连边，则(1)成立。

(1)$\to$(2):若(1)成立，找到使(1)成立的任意一张简单无向图$G$，讨论如下：

(i):将$G$的点的度数由大到小排序后，若$p_1$节点相邻的点分别为$p_2,p_3......p_{a_{p_1}+1}$，则将这个点和这些边删掉，易知(2)成立。

(ii):若∃pi⊂{ p2,p3......pap1+1},edge(p1,pi) isn′t exist\exist p_i\subset \{p_2,p_3......p_{a_{p_1}+1}\},edge(p_1,p_i) \ isn't\ exist∃pi​⊂{ p2​,p3​......pap1​​+1​},edge(p1​,pi​) isn′t exist 则$\exists p_j,j>a_{p_1}+1,edge(p_1,p_j)exist$

则，$a_{p_i}$