钉子和小球

最新推荐文章于 2022-02-12 15:35:57 发布

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分类专栏：动态规划文章标签： system ini

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本文介绍了一种基于概率统计的算法，用于计算有n层钉子的场景中，从最顶层钉子出发的小球经过每层后到达指定位置的路径数量。通过动态规划方法dp[i][j]，计算了每层每个空洞的小球个数，并最终通过最大公约数计算路径数量的简化形式。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

转自：
http://apps.hi.baidu.com/share/detail/30842027

有n层钉子,如果没有钉子被拔出,那么小球从最顶层钉子处出发的路径数=2^n,小球落到钉子上时弹到两边的概率是相同的,都是1/2.如果某个位置处得钉子被拔掉了,则小球就直接从该位置处下落到它的正下方.可以画图很容易理解.
用dp[i][j]表示经过第i层(从上向下数)第j个空洞的小球的个数,如果第i-1层第j个钉子没有拔掉,则在位置(i-1,j)的钉子会以1/2的概率分别向位置(i,j)和(i,j+1)下落,即dp[i-1][j]/2个小球会从位置(i-1,j)下落到位置(i,j)处,而另外的dp[i-1][j]/2个小球则会下落到到位置(i,j+1)处,如果第i-1层第j个钉子被拔出,则位置(i-1,j)处得小球会直接下落到位置(i+1,j+1)处,即dp[i-1][j]个小球会下落到位置(i+1,j+1)处.

#include<iostream>
#include<string>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;

char ss[55][55];
__int64 dp[55][55];

__int64 gcd(__int64 a,__int64 b)                                                                                   //计算a,b的最大公约数
{
        if(b==0)
           return a;
        else
           return gcd(b,a%b);
}

int main()
{
    int i,j,m,n;
    __int64 d,tmp;
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
    {
        for(i=0;i<n;i++)
         for(j=0;j<=i;j++)
           cin>>ss[i][j];
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        dp[0][0]=((__int64)1)<<n;  //总共的路径数
        for(i=1;i<=n;i++)
         for(j=0;j<i;j++)
         {
            if(ss[i-1][j]=='*')    //该位置处得钉子没有被拔掉
            {
                tmp=dp[i-1][j]>>1;//把父节点的数量，各分一半给两个孩子，因为父节点的路径总数，就是两个孩子的路径数之和
                dp[i][j]+=tmp;
                dp[i][j+1]+=tmp;
            }
            else                                                                        
                dp[i+1][j+1]+=dp[i-1][j];   //该位置的钉子被拔掉之后会直接下落到位置(i+1,j+1)处
         }
         d=gcd(dp[n][m],dp[0][0]);
         printf("%I64d/%I64d\n",dp[n][m]/d,dp[0][0]/d);
    }
    system("pause");
    return 0;
}

另一种基于概率统计的方法详见：

http://it.dgzx.net/drkt/oszt/zltk/yxlw/dongtai1.htm#appendix1