HDU 2842 Chinese Rings （带常数矩阵+矩阵快速幂）

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本文探讨了利用矩阵快速幂解决中国环解开问题的算法，详细解析了问题的数学模型，提供了完整的代码实现及核心思路分析。

HDU 2842 Chinese Rings （带常数矩阵+矩阵快速幂）

ACM

题目地址：HDU 2842 Chinese Rings

题意：
一种中国环，解开第k个环需要先解开前(k-2)个环，并留有第(k-1)环。问解开n环最少需要几步。

分析：
设f(n)表示解开n环。
1. 由于游戏规则，解开n环不能一下子把n-1全解开了，否则第n个就没法拿掉了。
2. 得先拿掉第n个：先完成f(n-2)，然后再拿掉第n环。
3. 然后放回前(n-2)，其实这也是f(n-2)，因为是一个逆的过程。
4. 最后就变成完成f(n-1)了。

那f(n-1)呢？那是它自己的事了。。。
所以f(n) = f(n-2)+1 + f(n-2) + f(n-1)。
第一次遇到含有常数的式子，常数原来可以用的啊。

 | f[n] |       | 1 2 1 |     |f[n-2]|
|f[n-1]|   =   | 1 0 0 | *   |f[n-1]|
|  1   |       | 0 0 1 |     |  1   |

代码：

/*
*  Author:      illuz <iilluzen[at]gmail.com>
*  Blog:        http://blog.youkuaiyun.com/hcbbt
*  File:        2842.cpp
*  Create Date: 2014-08-03 22:22:57
*  Descripton:   
*/

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
#define repf(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
typedef long long ll;

const int N = 31;
const int SIZE = 3;	// max size of the matrix
const int MOD = 200907;

struct Mat{
	int n;
	ll v[SIZE][SIZE];	// value of matrix

	Mat(int _n = SIZE) {
		n = _n;
		memset(v, 0, sizeof(v));
	}

	void init(ll _v) {
		memset(v, 0, sizeof(v));
		repf (i, 0, n - 1)
			v[i][i] = _v;
	}

	void output() {
		repf (i, 0, n - 1) {
			repf (j, 0, n - 1)
				printf("%lld ", v[i][j]);
			puts("");
		}
		puts("");
	}
} a, b, c;

Mat operator*(Mat a, Mat b) {
	Mat c(a.n);
	repf (i, 0, a.n - 1) {
		repf (j, 0, a.n - 1) {
			c.v[i][j] = 0;
			repf (k, 0, a.n - 1) {
				c.v[i][j] += (a.v[i][k] * b.v[k][j]) % MOD;
				c.v[i][j] %= MOD;
			}
		}
	}
	return c;
}

Mat operator ^ (Mat a, ll k) {
	Mat c(a.n);
	c.init(1);
	while (k) {
		if (k&1) c = c * a;
		a = a * a;
		k >>= 1;
	}
	return c;
}

ll solve(int n) {
	if (n <= 2) {
		return n;
	}
	// init
	a.v[0][1] = 2;
	a.v[0][0] = a.v[0][2] = a.v[1][0] = a.v[2][2] = 1;
	b.v[0][0] = 2;
	b.v[1][0] = b.v[2][0] = 1;
	
	c = a ^ (n - 2);
	c = c * b;
	return c.v[0][0];
}

int main() {
	int n;
	while (~scanf("%d", &n) && n) {
		cout << solve(n) << endl;
	}
	return 0;
}