大数定律与中心极限定理-优快云博客

1、服从大数定律
如果当n足够大时，随机变量序列的算术平均值Y等于Y的期望地概率为1。满足这个条件就可以说这个随机序列服从大数定律。

2、Bernoulli大数定律
      事件A的概率为p,当实验次数n足够大时，事件A出现的次数与n的比值等于p的概率为1，其实也就是说，但实验次数n足够大时，A出现的频率可以看作其出现的概率。
     频率稳定于概率.
3、Chebyshev(切比雪夫)大数定律
      只要随机变量序列X(n)相互独立,且期望(u)和方差相同，在n足够大时，可以将序列的算术平均值看作是这个随机变量序列的数学期望u。
4、Khintchin(辛钦)大数定律
      如果随机变量序列X(n)服从相同的分布，且具有相同的数学期望u，我们就可以用这个序列的算术平均值作为序列X(k)数学期望u的估计值。

大数定律揭示了个体期望与整体期望的关系:当群体足够大时,个体期望与群体期望趋于相等.比如抛硬币,1个人抛,正面的概率是50%,数学期望是0.5,那100个人抛呢,出现正面的概率的期望也趋于0.5,当人足够多时,可以认为出现正面次数的数学期望等于个体期望.这个定律也同时说明了很多试验做多次和多个人每人做一次,得到的平均值(期望值)是一样的.

5、中心极限定理
只要服从相同的分布，具有相同的期望值和方差值，那么这些独立随机变量的平均值收敛于正态分布，且当n足够大时，接近标准正态分布，中心极限定理揭示了大量独立分布随机变量之和具有近似于正态的分布。换一种说法就是无论个人分布怎么样(只要大家总体分布一样),那么群体的分布近似于正态分布.大数定律揭示了群体的平均值规律,但没有给出群体之和的规律.还是用抛硬币来说明,1个人抛硬币,抛1次出现正面的概率是50%,如果100000个人抛,根据大数定律,出现正面的概率平均值也是50%,根据极限定理,这个概率值以0.5为中心呈正态分布.这个定理的作用非常大,是解决群体问题的一把利刀.比如上面的抛硬币,10000个人抛硬币,出现4000个正面的概率是多大.就可以用极限定理来求.

极限定理也昭示了自然界的一个规律性:个体的无规律性(个体可以服从任何分布)和整体的规律性(近似服从正态分布).如布朗运动(如果分子看作随机变量X(k),X(k)不一定符合相互独立性,但同样具有个体的无规律性和群体的规律性)等.

PS:大数定律和中心极限定理可以看作是研究群体行为的理论基础.