19、标签插值系统与证明变换：深入探究插值强度

标签插值系统与证明变换：深入探究插值强度

1. 标签插值系统概述

标签插值系统是一种强大的工具，它能从反驳中构建不同的插值项。在标签插值系统中，有几个关键的定义和概念。

首先是标签函数。设 $(S, ⊑, ⊓, ⊔)$ 是一个格，其中 $S = {⊥, a, b, ab}$ 是符号集，$⊑, ⊓$ 和 $⊔$ 由哈斯图定义。对于一个在文字集 $Lit$ 上的反驳 $R$，标签函数 $L_R : V_R × Lit → S$ 满足：
1. $L_R(v, t) = ⊥$ 当且仅当 $t ∉ ℓ_R(v)$。
2. 对于内部顶点 $v$ 和文字 $t ∈ ℓ_R(v)$，$L_R(v, t) = L_R(v^+, t) ⊔ L_R(v^-, t)$。

根据条件 (2)，内部顶点文字的标签函数完全由初始顶点文字的标签决定。变量 $x$ 在 $(A, B)$ 对中，如果 $x ∈ Var(A)\Var(B)$ 则为 $A$ - 局部变量，如果 $x ∈ Var(B)\Var(A)$ 则为 $B$ - 局部变量，否则为共享变量。

标签函数的局部性定义为：对于一个 $(A, B)$ - 反驳 $R$ 的标签函数，如果对于 $R$ 中的任何初始顶点 $v$ 和文字 $t$，满足：
1. $a ⊑ L(v, t)$ 意味着 $var(t) ∈ Var(A)$。
2. $b ⊑ L(v, t)$ 意味着 $var(t) ∈ Var(B)$。

局部性条件确保了 $A$ - 局部变量的文字被标记为 $a$，$B$ - 局部变量的文字被标记为 $b$，而共享变量的文字可以有任意标签。

给定一个标签函数 $L$，顶