1、机器学习中的优化算法：加速方法的全面剖析

机器学习中的优化算法：加速方法的全面剖析

1. 优化在机器学习中的重要性

优化是许多与数值计算相关研究领域的支撑技术，如机器学习、信号处理、工业设计和运筹学等。有学者提出公式：机器学习 = 表示 + 优化 + 评估，这充分显示了优化在机器学习中的重要地位。

2. 机器学习中的优化问题示例

2.1 分类/回归问题

许多分类/回归问题可表述为：
[
\min_{w\in\mathbb{R}^n} \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} l(p(x_i; w), y_i) + \lambda R(w)
]
其中：
- (w) 是分类/回归系统的参数。
- (p(x; w)) 是学习模型的预测函数。
- (l) 是损失函数，用于惩罚系统预测与真实值之间的不一致。
- ((x_i, y_i)) 是第 (i) 个数据样本，(x_i) 是数据/特征向量，(y_i) 是分类标签或回归对应值。
- (R) 是正则化器，用于强制 (w) 具有某些特殊属性。
- (\lambda \geq 0) 是权衡参数。

常见的 (l(p, y)) 示例包括平方损失 (l(p, y) = \frac{1}{2}(p - y)^2)、逻辑损失 (l(p, y) = \log(1 + \exp(-py))) 和铰链损失 (l(p, y) = \max{0, 1 - py})。不同的损失函数、预测函数和正则化器的组合会产生不同的机器学习模型，如下表所示：
| 损失函数 | 预测函数 | 正则化器 | 对应模型 |
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