南阳117求逆序数（离散化+树状数组或归并排序）

求逆序数

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难度：5

描述

在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。

现在，给你一个N个元素的序列，请你判断出它的逆序数是多少。

比如 1 3 2 的逆序数就是1。

输入

第一行输入一个整数T表示测试数据的组数（1<=T<=5)
每组测试数据的每一行是一个整数N表示数列中共有N个元素（2〈=N〈=1000000）
随后的一行共有N个整数Ai(0<=Ai<1000000000)，表示数列中的所有元素。

数据保证在多组测试数据中，多于10万个数的测试数据最多只有一组。

输出

输出该数列的逆序数

样例输入

2
2
1 1
3
1 3 2

样例输出

0
1

归并排序：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
long long a[1000100];
long long t[1000100];
long long sum;
void merge(int b,int mid,int e){//归并 
	int i,j;
	i=b;
	j=mid+1;
	int pos=b;
	while(i<=mid&&j<=e){
		if(a[i]<=a[j]){
			t[pos++]=a[i++];
		}
		else{
			t[pos++]=a[j++];
			sum+=mid-i+1;
		}
	}
	while(i<=mid){
		t[pos++]=a[i++];
	}
	while(j<=e)
	t[pos++]=a[j++];
	for(i=b;i<=e;i++)
	a[i]=t[i];
}
void Sort(int b,int e){//排序 
	if(b>=e){
		return;
	}
	int mid=(b+e)/2;
	Sort(b,mid);
	Sort(mid+1,e);
	merge(b,mid,e);
}
int main(){
	int T;
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
		int i,k,j;
		int n;
		scanf("%d",&n);
		for(i=1;i<=n;i++){
			scanf("%d",&a[i]);
		}
		sum=0;
		Sort(1,n);
		printf("%lld\n",sum);
	}
	return 0;
}
这题还可以用树状数组：

本来一点也不懂逆序对与树状数组有什么关系，参考一下别人的讲解才有一点头绪：

算法的大体流程就是：
1.先对输入的数组离散化，使得各个元素比较接近，而不是离散的，
2.接着，运用树状数组的标准操作来累计数组的逆序数。
算法详细解释：
1.解释为什么要有离散的这么一个过程？
    刚开始以为999.999.999这么一个数字，对于int存储类型来说是足够了。
    还有只有500000个数字，何必要离散化呢？
    刚开始一直想不通，后来明白了，后面在运用树状数组操作的时候，
    用到的树状数组C[i]是建立在一个有点像位存储的数组的基础之上的，
    不是单纯的建立在输入数组之上。
    比如输入一个9 1 0 5 4，那么C[i]树状数组的建立是在，
    下标 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
    数组 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1
    现在由于999999999这个数字相对于500000这个数字来说是很大的，
    所以如果用数组位存储的话，那么需要999999999的空间来存储输入的数据。
    这样是很浪费空间的，题目也是不允许的，所以这里想通过离散化操作，
    使得离散化的结果可以更加的密集。
2. 怎么对这个输入的数组进行离散操作？
   离散化是一种常用的技巧，有时数据范围太大，可以用来放缩到我们能处理的范围；
   因为其中需排序的数的范围0---999 999 999；显然数组不肯能这么大；
   而N的最大范围是500 000；故给出的数一定可以与1.。。。N建立一个一一映射；
   ①当然用map可以建立，效率可能低点；
   ②这里用一个结构体
   struct Node
   {
      int v,ord;
   }p[510000];和一个数组a[510000];
   其中v就是原输入的值，ord是下标；然后对结构体按v从小到大排序；
   此时，v和结构体的下标就是一个一一对应关系，而且满足原来的大小关系；
   for(i=1;i<=N;i++) a[p[i].ord]=i;
   然后a数组就存储了原来所有的大小信息；
   比如 9 1 0 5 4 ------- 离散后aa数组就是 5 2 1 4 3；
   具体的过程可以自己用笔写写就好了。
3. 离散之后，怎么使用离散后的结果数组来进行树状数组操作，计算出逆序数？
    如果数据不是很大， 可以一个个插入到树状数组中，
    每插入一个数， 统计比他小的数的个数，
    对应的逆序为 i- getsum( aa[i] ),
    其中 i 为当前已经插入的数的个数，
    getsum( aa[i] ）为比 aa[i] 小的数的个数,
    i- sum( aa[i] ) 即比 aa[i] 大的个数， 即逆序的个数
    但如果数据比较大，就必须采用离散化方法
    假设输入的数组是9 1 0 5 4， 离散后的结果aa[] = {5,2,1,4,3};
在离散结果中间结果的基础上，那么其计算逆序数的过程是这么一个过程。
1，输入5，   调用upDate(5, 1),把第5位设置为1
1 2 3 4 5
0 0 0 0 1
计算1-5上比5小的数字存在么？ 这里用到了树状数组的getSum（5） = 1操作，
现在用输入的下标1 - getSum(5) = 0 就可以得到对于5的逆序数为0。
2. 输入2， 调用upDate(2, 1),把第2位设置为1
1 2 3 4 5
0 1 0 0 1
计算1-2上比2小的数字存在么？ 这里用到了树状数组的getSum（2） = 1操作，
现在用输入的下标2 - getSum(2) = 1 就可以得到对于2的逆序数为1。
3. 输入1， 调用upDate(1, 1),把第1位设置为1
1 2 3 4 5
1 1 0 0 1
计算1-1上比1小的数字存在么？ 这里用到了树状数组的getSum（1） = 1操作，
现在用输入的下标 3 - getSum(1) = 2 就可以得到对于1的逆序数为2。
4. 输入4， 调用upDate(4, 1),把第5位设置为1
1 2 3 4 5
1 1 0 1 1
计算1-4上比4小的数字存在么？ 这里用到了树状数组的getSum（4） = 3操作，
现在用输入的下标4 - getSum(4) = 1 就可以得到对于4的逆序数为1。
5. 输入3， 调用upDate(3, 1),把第3位设置为1
1 2 3 4 5
1 1 1 1 1
计算1-3上比3小的数字存在么？ 这里用到了树状数组的getSum（3） = 3操作，
现在用输入的下标5 - getSum(3) = 2 就可以得到对于3的逆序数为2。
6. 0+1+2+1+2 = 6 这就是最后的逆序数
分析一下时间复杂度，首先用到快速排序，时间复杂度为O(NlogN),
后面是循环插入每一个数字，每次插入一个数字，分别调用一次upData()和getSum()
外循环N, upData()和getSum()时间O(logN) => 时间复杂度还是O(NlogN).
最后总的还是O(NlogN).
代码：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n;
int c[1000100];
struct node{
	long long value;
	int num;
}a[1000100];
bool cmp(node x,node y){
	if(x.value==y.value){
		return x.num<y.num;
	}
	return x.value<y.value;
}
int lowbit(int i){
	return i&(-i);
}
void update(int i){
	while(i<=n){
		c[i]++;
		i=i+lowbit(i);
	}
}
int getsum(int i){
	int sum=0;
	while(i>0){
		sum+=c[i];
		i=i-lowbit(i);
	}
	return sum;
}
int main(){
	int T;
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
		//memset(c,0,sizeof(c));
		memset(a,0,sizeof(a));
		int i,j,k;
		scanf("%d",&n);
		for(i=1;i<=n;i++){
			scanf("%d",&a[i].value);
			a[i].num=i;
			c[i]=0; 
		}
		sort(a+1,a+n+1,cmp);//离散，与上面的描述有些不同，都可以的；
		long long sum=0;
		for(i=1;i<=n;i++){
			update(a[i].num);
			sum+=i-getsum(a[i].num);
		}//插入一个计算一个 
		printf("%lld\n",sum);
	}
	return 0;
}