二叉搜索树

一、什么是二叉搜索树

         二叉查找树（Binary Search Tree），（又：二叉搜索树，二叉排序树）它或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树： 若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于等于它的根结点的值； 若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于等于它的根结点的值； 它的左、右子树也分别为二叉排序树。

二、查询

定义树的结点类为

class Node{
		int k;
		Node left = null;
		Node right = null;
		Node p = null;
	}

查找过程，从树的根节点开始查找，输入树的根节点和需要查找的k值，如果结点存在，返回指向关键字k的结点，否则返回null。

public Node TreeSearch(Node root,int k){
		if(root==null||k==root.k)
			return root;
		if(k<root.k){
			return TreeSearch(root.left,k);
		}else{
			return TreeSearch(root.right,k);
		}	
	}

三、插入

插入和删除会引起由二叉搜索树的动态集合的变化。一定要修改数据结果来反映这个变化，但修改要保持二叉树搜索树性质成立。

public void TreeInsert(Node root,Node z){
		Node y = null;
		Node x = root;
		while(x!=null){
			y = x;
			if(z.k<x.k){
				x = x.left;
			}else{
				x = x.right;
			}
		}
		z.p = y;
		if(y==null){
			root = z;
		}else if(z.k<y.k){
			y.left = z;
		}else{
			y.right = z;
		}
		
	}

四、删除

删除分为三种情况

1、如果z没有孩子结点，那么知识简单地将它删除，并修改它的父结点，用null最为孩子了替换z

2、如果z只有一个孩子，那么将这个孩子提升到树中的z的位置，并修改z的父结点，用z的孩子代替z

3、如果z有两个孩子，那么找z的后继y（一定在z的右子树中）并让其占据树中z的位置，z原来额右子树部分称为y的右子树，并且z的左子树称为y的新的左子树。

为了完成删除操作，我们先来做一下准备工作。

最大关键字元素和最下关键字元素

	/**
	 * 获得最小值元素
	 * @param x
	 * @return
	 */
	public Node TreeMiniNum(Node x){
		while(x.left!=null){
			x = x.left;
		}
		return x;
	}
	
	/**
	 * 获得最大值元素
	 * @param x
	 * @return
	 */
	public Node TreeMaxiNum(Node x){
		while(x.right!=null){
			x = x.right;
		}
		return x;
	}

前驱和后继

一个结点的后继是大于x.key的最小关键词的结点，前驱是小于x.key的最大关键字的结点。

	/**
	 * 求后继
	 * @param x
	 * @return
	 */
	public Node TreeSuccessor(Node x){
		if(x.right!=null){
			return TreeMiniNum(x.right);
		}
		Node y = x.p;
		while(y!=null && x == y.right){
			x = y;
			y = y.p;
		}
		
		return y;
	}
	

为了在二叉搜索树内移动子树，定义一个子过程TRANSPLANT，它是用另一颗子树替换一棵子树并成为其双亲的孩子结点。当TRANSPLANT用一颗以v为根的子树来替换一颗以u为根的子树时，结点u的双亲就变为结点v的双亲，并最后v成为u的双亲的相应孩子。

public void Transplant(Node root,Node u,Node v){
		if(u.p==null)
			root = v;
		else if(u==u.p.left)
			u.p.left = v;
		else 
			u.p.right = v;
		if(v!=null){
			v.p = u.p;
		}
	}

下面是二叉搜索树删除结点z的删除过程

public void TreeDelete(Node root,Node z){
		
		//第一种情况
		if(z.left==null)
			Transplant(root, z, z.right);
		else if(z.right == null)
			Transplant(root, z, z.left);
		//第二和第三种情况
		else {
			Node y = TreeMiniNum(z.right);
			if(y.p!=z){//第三种情况
				Transplant(root, y, y.right);
				y.right = z.right;
				y.right.p = y;
			}
			//z的后继恰好为z的有右孩子，第二种情况
			Transplant(root, z, y);
			y.left = z.left;
			y.left.p = y;
		}
	}

在一颗高度为h的二叉搜素树上，实现动态集合操作Insert和Delete的运行时间均为o（h）。

本文为《算法导论》二叉搜索复习笔记