斐波那契数列切入动态规划_斐波那契切入位-优快云博客

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本文探讨了如何通过动态规划改进斐波那契数列的计算效率，从递归到备忘录法，再到自底向上计算，重点介绍了三种方法的实现及其空间复杂性的降低。通过自定义数组存储中间结果，展示了算法优化的关键步骤和节省内存的技术细节。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

斐波那契数列切入动态规划

动态规划指保存已出现过的值。

1.普通递归

int Fibonacci(int n){
    if(n==0){
        return 0;
    }
    if(n<=2){
        return 1;
    }
    return Fibonacci(n-1)+Fibonacci(n-2);
}

2.备忘录法


#include<bits/stdc++.h>
using namespace std ;
int fib(int n,int Memo[]);
int Fibonacci(int n)
{
		if(n<=0)
			return n;
		int Memo[n+1];		
		for(int i=0;i<=n;i++)
			Memo[i]=-1;
		return fib(n, Memo);
	}
int fib(int n,int Memo[])
{
		
		if(Memo[n]!=-1)
			return Memo[n];
	//如果已经求出了fib（n）的值直接返回，否则将求出的值保存在Memo备忘录中。				
		if(n<=2)
			Memo[n]=1;
		
		else Memo[n]=fib( n-1,Memo)+fib(n-2,Memo);	
		
		return Memo[n];
}

int main(){
   cout<<Fibonacci(12)<<endl;
   return 0;
}

以上两种方法都是自顶向下的由求父值转向求子值的递归思想；

于是演变出第三种思想，先求小算子；
3.自下至上的动态规划

int Fibonacci(int n){
    int memo[n+1];
    memo[0]=0;
    memo[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        memo[i]=memo[i-1]+memo[i-2];
    }
    return memo[n];
}

既然我们要求fib(n),我们就把所有算子保存在一个数组中，依次正向推进得到结果，递归是反相推演。

进一步推演，每次参与计算只需有规律推进的三个算子。

int Fibonacci(int n){
    
    int memo_0=0;
    int memo_1=1;
    int memo_n;
    for(int i=2;i<=n;i++){
       memo_n=memo_0+memo_1;
       memo_0=memo_1;
       memo_1=memo_n;
    }
    return memo_n;
}

这三个算子是有规律依次递进的，所以可以节省数组的空间。感觉像是链表指针。