Educational Codeforces Round #46 D. Yet Another Problem On a Subsequence（动态规划，组合数学）

原题链接：D. Yet Another Problem On a Subsequence
题目大意：给出n个数字组成的数组，规定一个数组[a₁,a₂,a₃, … ,a_n],如果有a₁=n-1且a₁>0,这个数组就被叫为好数组，再规定“好序列”是可以分为若干个“好数组”的序列，现在问这n个数字中有多少个子序列是“好序列”
答案对998244353取模
数据范围：1≤n≤10³，−10⁹≤a_i≤10⁹
解题思路:
对于一个数a_i,我们可以考虑从a_i后的数组中选择a_i个数，与a_i一同构成好数组，共有C_n^ai种选择，考虑到一个“好序列”是可以分为若干个“好数组”的序列，我们可以从a_i前面的数组中选择好数组进行拼接，再由乘法原理，即可得到答案
首先是组合数的计算，由于题目数据范围较小，可以由杨辉三角算出：

	c[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)c[i][0]=c[i][i]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<i;j++)
		{
			c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%mod;
		}
	}

可以考虑用动态规划来解决问题，设置dp数组，其中dp[i]表示前i项中好数组的数量，设当前下标为i,对i+a[i]之后的数组进行更新，当前的数组以a[i]开头，可以在i~j的范围内选择a[i]个数组成子序列，然后与前面的好数组进行拼接，由dp[i-1]种方案，若不拼接，方案数为1种，共dp[i-1]+1种拼接方案，根据乘法原理
共有dp[j]+c[j-i][a[i]]*(dp[i-1]+1)种好数组，由此的到状态转移方程为

dp[j]=(dp[j]+1LL*c[j-i][a[i]]*(dp[i-1]+1))%mod;

AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int mod=998244353;
int a[1005],dp[1005],c[1005][1005];
void init(int n)
{
	c[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)c[i][0]=c[i][i]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<i;j++)
		{
			c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%mod;
		}
	}
}
signed main(){
	int n;
	cin>>n;
	init(n);//用杨辉三角计算组合数
	for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if(a[i]>0)
		{
			for(int j=i+a[i];j<=n;j++)
			{
				dp[j]=(dp[j]+1LL*c[j-i][a[i]]*(dp[i-1]+1))%mod;
            	dp[j]%=mod;
			}
		}
	}
    cout<<dp[n]%mod;
	return 0;
}