Codeforces Round 900 (Div. 3)F. Vasilije Loves Number Theory(数学)

原创已于 2024-03-01 23:18:11 修改 · 510 阅读

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#算法 #c++

于 2024-02-19 23:00:47 首次发布

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文章介绍了如何通过质因数分解和快速幂来处理一个与正因子相关的问题，包括操作1检查是否存在特定条件下的整数a，以及操作2恢复初始值。解题的关键在于利用质因子个数的关系和快速计算正因子总数。

原题链接:F. Vasilije Loves Number Theory
题目大意:令 d(x) 表示 x 的正因子数量，给定 n,q。现有两种操作：
操作1：给定 x，令 n替换为n⋅x。同时询问是否存在一个正整数 a 满足 gcd(a,n)=1 且
d(n⋅a)=n。若存在a，输出"YES",否则输出”NO“
操作2：将 n 还原为最初的值。
数据范围：1≤t≤100，1≤n≤10⁶, 1≤q≤1000，1≤k≤2 ，1≤x≤10⁶，对于给定的输入，保证d（n)在任何时候都不超过10⁹。保证所有测试案例的q总和不超过10³。

解题思路：
前置知识：一个数的正因子数量等于该数的每个质因子出现次数+1的乘积
例如：对72进行质因数的分解，得到2，2，2，3，3。 2出现了3次，3出现了2次，则36的正因子数量为（3+1）*（2+1）=12个
分析题目，由于gcd(a,n)=1,推出a,n不可能有相同的质因子，因此d(n⋅a)=d(n)⋅d(a),而a只需要取整数个对n质因数分解得不到的质因子即可达到，所以只需要考虑n是否是d(n)的整数倍即可
首先开两个map,分别为mp和now，mp用来维护原始n的质因子个数，now用来存当前n⋅x的质因子个数，这样就不用每次都算一遍n⋅x的质因子，直接对x进行质因数分解即可
然后对n进行质因数分解

	int p = n;
	for (int i = 2; i <= sqrt(p); i++)
	{
		while (p % i == 0)p /= i, mp[i]++;
	}
	if (p > 1)mp[p]++;//特判一下分解后得到质数的情况

进行操作1后在次基础上对x进行同样分解操作即可
分解后，用上述方法计算正因子个数

for (auto [x, y] : now)p *= (y + 1);

然后用快速幂可还原当前的n⋅x

for (auto [x,y] : now) sum *= ksm(x, y, p),sum%=p;

然后判断当前sum是否是正因子的整数倍即可

AC代码：

#include<iostream>
#include<map>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<queue>
#include<set>
#include<math.h>
using namespace std;
#define int long long
map<int, int> now, mp;
int ksm(int a, int b, int p)
{
	int ans = 1;
	while (b)
	{
		if (b & 1)ans *= a, ans %= p;
		a *= a;
		a %= p;
		b >>= 1;
	}
	return ans % p;
}
void solve()
{
	int n, q;
	cin >> n >> q;
	now.clear();
	mp.clear();
	int p = n;
	//分解质因数
	for (int i = 2; i <= sqrt(p); i++)
	{
		while (p % i == 0)p /= i, mp[i]++;
	}
	if (p > 1)mp[p]++;
	p = n; now = mp;
	while (q--)
	{
		int op;
		cin >> op;
		if (op == 1)
		{
			int x;
			cin >> x;
			for (int i = 2; i <= sqrt(x); i++)
			{
				while (x % i == 0)x /= i, now[i]++;
			}
			if (x > 1)now[x]++;
			int p = 1, sum = 1;
			for (auto [x, y] : now)p *= (y + 1);//计算正因子个数
			for (auto [x,y] : now) sum *= ksm(x, y, p),sum%=p;//计算当前n⋅x
			if (sum%p)cout << "NO" << endl;
			else cout << "YES" << endl;
		}
		else
		{
			now = mp;//操作二直接把原来分解n得到的mp赋给now
		}
	}
	cout << endl;
}
signed main() {
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	int t = 1;
	cin >> t;
	while (t--)solve();
	return 0; 
}