软件分析——数据流分析2

数据流分析的理论部分（foundation）

这一部分李越老师用了两课时（第五课
，第六课
），讲的很仔细，将一些比较抽象的概念也解释的很清楚，收获很多，顺便做了笔记和一点从自己角度的理解，将比窘上传，方便之后需要时再看，也欢迎大家阅读以及批评指正。

1. 迭代算法（iterative algorithm）

主要由上节课的三个算法引出迭代算法，从另一个角度来分析算法，从而更深刻的理解该算法

常见的迭代算法会产生一个数据流分析的解（eg：可达定义的最后一次迭代的结果，就是数据流分析的一个解）

1. 从另一个角度去看迭代算法

   • 理论方面

     理论1：给定一个CFG有k个点（个人理解为有k个程序点，或者就是BB），迭代算法会在每次迭代的时候，更新每个程序点的OUT[n]

     理论2：设数据流分析中解的值域为V，那么可以定义一个k-元组：$(OUT[n_1],OUT[n_2],...OUT[n_k])$

     它们是集合$(V_1\times V_2\times ...\times V_k)$中的一个元素（该集合其实就是幂集），可以写为$V^k$，代表每次迭代后，整体的值

     理论3：每一次迭代都可以看成一个$V^k$映射到一个新的$V^k$，通过转换函数和控制流来实现映射，可以将其抽象为一个函数：$F:V^k\to V^k$

     理论4：算法不断迭代，直到相邻两次迭代的k-元组的值一样，算法就结束了

   • 举例
     
     这边可以引出：不动点的概念$x_i=f(x_i)$，就是不动点

2. 根据上面的角度，我们提出问题:

   • 算法是否能保证一定停止或者就是抵达一个不动点（到不动点，根据算法限制的条件，就是停止的了），或者算法总是能得出一个解？
   • 如果算法可终止，是否只有一个解/一个不动点？如果有多个的话，我们的解是最优的吗？
   • 什么时候算法能到达一个不动点，或者什么时候我们能得到一个解？

2. 偏序（partial order）

是数学概念

定义：给定一个偏序集poset，是一组$(P,⊑)$，其中$⊑$是一个定义在P上的二元关系，它必须要满足如下性质才能算是偏序关系：

• $\forall x\in P,x⊑x$：满足自反性，自己和自己是满足偏序关系的
• $\forall x,y\in P,x⊑y\wedge y⊑x\Rightarrow x=y$：对称性，x是y的偏序，y是x的偏序，则x = y
• $\forall x,y\in P,x⊑y\wedge y⊑z\Rightarrow x⊑z$：传递性

举例：
三个条件依次判断：

（1）自反：$1\le 1,2\le 2$，满足

（2）反对称：$x\le y,y\le x$，在整数中，很显然满足

（3）传递：$1\le 2,2\le 3\Rightarrow 1\le 3$，满足

所以该关系满足偏序

如果条件改为$⊑代表<$，那么显然不满足

举例2：

三个条件依次判断

（1）自反：自己就是自己的子集，满足

（2）反对称：满足

（3）传递：in - sing，sing-singing => in - singing

该关系满足偏序

可以发现一个结论：偏序意味着集合中的两个元素可以不相互比较，即集合中不是任意两个元素都必须满足偏序关系的

举例3：也是满足偏序的

3. 上界和下界（upper and lower bounds）

给定一个偏序集$(P,⊑)$，并且子集S满足$S\subseteq P$

上界：如果$\forall x\in S,x⊑u,其中u\in P$，那么u就是子集P的上界（就是子集S中的所有元素均满足$x⊑u$）

下界：如果$\forall x\in S,l⊑x,其中l\in P$，那么l就是子集P的下界（就是子集S中的所有元素均满足$l⊑x$）

举例：对于如下的子集S，{a, b, c}就是S的上界；{ }就是S的下界

最小上界：least upper bound（lub 或者称为join），用$\bigsqcup S$表示

定义为：对于子集S的任何一个上界u，均有$\bigsqcup S⊑u$

最大下界：greatest lower bound（glb 或者称为meet），用$\sqcap S$

定义为：对于子集S的任何一个下界l，均有$l⊑\sqcap S$

举例：

通常：如果S只包含两个元素a、b（S = {a, b}）那么上界可以表示为 a ⊔ b a