拓扑排序Topological Sort

原创于 2023-08-11 15:28:22 发布 · 228 阅读

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#数据结构 #图论

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本文介绍了拓扑排序在解决动态规划问题中的应用，特别是在计算最大食物链数量时的重要性。通过无后效性和拓扑排序的原则，解释了如何设计动态规划状态并利用拓扑排序进行求解，提供了Kahn算法和DFS算法的实现方法。

拓扑排序

拓扑排序用于有向无环图（DAG），作用是给出一个序列，使得任何一条边总是起点比终点在序列中出现的位置靠前

拓扑排序原理是每次找到入度为0的点，把它放进拓扑排序的序列中，然后把这个点和这个点引出的边全部删掉（当然，一个图的拓扑序不是唯一的，只要起到功效就可以了）

这个排序在没碰见它的题之前就会觉得这毫无用处，举个例子，拓扑排序可以用于动态规划

动态规划需要满足些什么条件？无后效性

而拓扑排序像什么？过关斩将，“给出一个序列，使得任何一条边总是起点比终点在序列中出现的位置靠前”这句话恰好是无后效性的体现

例题：P4017 最大食物链计数

题目背景

你知道食物链吗？Delia 生物考试的时候，数食物链条数的题目全都错了，因为她总是重复数了几条或漏掉了几条。于是她来就来求助你，然而你也不会啊！写一个程序来帮帮她吧。

题目描述

给你一个食物网，你要求出这个食物网中最大食物链的数量。

（这里的“最大食物链”，指的是生物学意义上的食物链，即最左端是不会捕食其他生物的生产者，最右端是不会被其他生物捕食的消费者。）

Delia 非常急，所以你只有 11 秒的时间。

由于这个结果可能过大，你只需要输出总数模上 8011200280112002 的结果。

输入格式

第一行，两个正整数 n、m，表示生物种类 n 和吃与被吃的关系数 m。

接下来 m 行，每行两个正整数，表示被吃的生物A和吃A的生物B。

输出格式

一行一个整数，为最大食物链数量模上 8011200280112002 的结果。

输入输出样例

输入 #1复制

输出 #1复制

说明/提示

各测试点满足以下约定：

【补充说明】

数据中不会出现环，满足生物学的要求。（感谢 @AKEE ）

这个题属于计数问题，并查集之类的直接排除掉，用树很麻烦，这是有向无环图，用深搜等价于拓扑排序

那么现在考虑动态规划的做法，因为计数问题可以dp

这个题问的是有多少条最长链，注意断句，分析样例数据可知，这不能用过的点就删掉，因为可以多条最长链共用同样的生产者部分，你可以看一下P1020 [NOIP1999 普及组] 导弹拦截，一般新手的朴素思路是每次挑出来最长链，然后剔除掉（虽然标准做法是使用Dilworth定理的），不过你可以比对一下，两道题是截然不同的

同时参考一下数据规模：

这个数据规模n平方很危险，应该只能接受 O ( n ) 或者 O (n log n)

那么按照标准流程，先设计状态吧，要注意满足无后效性，不能与路径挂钩，那么我们可以

1.记f(i)表示i这个生产者引出的全部食物链数目

2.记f(i)表示i这个消费者为止的全部食物链数目

两种思路都可以解出题目，这里我选择的是思路1

读者可以先把样例数据画出来，然后用这个思路做一遍

画出来之后就会发现答案浮现出来了，是数学当中最基础的加法原理

当时入门的时候，是如何讲解加法原理和乘法原理还记得吗？这完全与加法原理一致

接下来确定细节

确定边界条件：

1.对于入度为0的最高级消费者，它起始的食物链只有一条，它自己

2.对于出度为0的生产者，它起始它所在的整个食物链，只对它计数就能避免重复计数

接下来考虑如何消除后效性：

思考一下图中我用红色数字标注的顺序：

想知道为什么是这个更新f(i)的顺序吗？因为这张图的拓扑排序恰好是：1，2，3，4，5

（我这个思路1是需要拓扑序的反序标号的，因为最高级消费者是边界条件）

同时，拓扑排序的时间复杂度是O(n+m)，符合题目，其中n是点数，m是边数，按照这个数据规模，绰绰有余

那么根据原理，可以粗略写出如下的代码，如要学会拓扑排序的其他实现方式，请移步后文

#include<cstdio>
using namespace std;
const long long mod=80112002;
int from[500001][500];int cnt_from[500001];
int to[500001][500];int cnt_to[500001];
long long f[500001];
int order[500001];
int medium[500001];
int book[500001];
int main()
{
	int n,m;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int a,b;
		scanf("%d%d",&a,&b);
		from[b][++cnt_from[b]]=a;
		to[a][++cnt_to[a]]=b;
	}
	
	for(int i=1;i<=n;i++)
	medium[i]=cnt_from[i];//backup copy
	int cnt=0;
	while(cnt<n)//Topological Sort
	{
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			if(book[i]) continue;
			if(medium[i]==0)
			{
				order[++cnt]=i;
				book[i]=1;
				for(int j=1;j<=cnt_to[i];j++)
				{
					medium[to[i][j]]--;
				}
			}
		}
	}
	
//	for(int i=1;i<=n;i++)	//test
//	cout<<order[i]<<" ";
//	cout<<endl;
	for(int i=1;i<=n;i++) if(cnt_to[i]==0) f[i]=1;//initialize
	for(int i=n;i>=1;i--)//solve
	{
		for(int j=1;j<=cnt_to[order[i]];j++)
		{
			f[order[i]]+=f[to[order[i]][j]];
			f[order[i]]%=mod;
		}
	}
	
	long long ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)//count the number from the producers
	if(cnt_from[i]==0) {
		ans+=f[i];
		ans%=mod;
	}
	printf("%d",ans);
	return 0;
}

另外，这个题比较玄学，数组开小了会TLE（当然也可能MLE）

还有，要记得开long long，同时对过程和答案取模