这篇博客介绍了如何使用扫描线算法解决矩形面积并和周长并的问题。通过构建线段树，分别处理水平和垂直线段，动态维护覆盖区域的总长度，从而求得矩形的总面积和周长。文章提供了具体的代码实现，并展示了如何处理边界条件和线段长度的统计。
知识点
一 . 矩形面积并
解释名词：矩形面积并：多个矩形互相有重叠部分，求所有矩形总的覆盖平面的面积。
例题： 洛谷 P5490 【模板】扫描线
题目描述
求 n 个四边平行于坐标轴的矩形的面积并。
输入格式
第一行一个正整数 n。
接下来 n 行每行四个非负整数 ，表示一个矩形的四个端点坐标为
)。
输出格式
一行一个正整数，表示 n 个矩形的并集覆盖的总面积。
输入输出样例
输入 #1
2 100 100 200 200 150 150 250 255
输出 #1
18000
说明/提示
对于 20% 的数据，。
对于 100% 的数据，，
，
。
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define ll long long
#define lson num<<1
#define rson num<<1|1
using namespace std;
ll int n;
const int maxn=1e6+5;
struct Line{
ll int from,to,check,mark;
}line[maxn<<1];
struct node{
ll int l,r,mark,len;
}tree[maxn<<2];
ll int x[maxn],cnt=0;
inline bool cmp(Line x,Line y)
{
return x.check<y.check;
}
inline void push(ll int num)
{
if(tree[num].mark) tree[num].len=x[tree[num].r+1]-x[tree[num].l];
//当前位置处于矩形下界时，记录当前线段的长度
else if(tree[num].l == tree[num].r) tree[num].len=0; //两点重合，说明是同一点距离为0
else tree[num].len=tree[lson].len+tree[rson].len; //父节点继承左右节点的长度
}
inline void build(ll int num,ll int l,ll int r) //建树
{
tree[num].l=l; tree[num].r=r;
if(l == r) return;
ll int mid=(l+r)>>1;
build(lson,l,mid);
build(rson,mid+1,r);
return;
}
inline void update(ll int num,ll int l,ll int r,ll int k)
{
if(x[tree[num].l]>=r || x[tree[num].r+1]<=l) return;
// 这里加等号的原因：
/*假设现在考虑[1,5],[5,8]两条线段，要修改[1,5]区间的mark，虽然5在这个区间内，但实际的区间应理解成左闭右开，[5,8]并不是我们希望修改的线段，加上等号进行判断*/
if(x[tree[num].l]>=l && x[tree[num].r+1]<=r) //注意这里输入的数已经为离散化前的数据
{
tree[num].mark+=k; //记录当前所在的线段的标记
push(num);
return;
}
update(lson,l,r,k); //更新左右线段
update(rson,l,r,k);
push(num);
}
int main()
{
scanf("%lld",&n);
for(int i=1;i<=n;++i)
{
ll int x1,y1,x2,y2;
scanf("%lld %lld %lld %lld",&x1,&y1,&x2,&y2);
x[(i<<1)-1]=x1; x[i<<1]=x2;
//离散化数组，用x[]存点的位置，将这一线段缩成左右两个相互挨着的点
line[(i<<1)-1]=(Line){x1,x2,y1,1};
line[i<<1]=(Line){x1,x2,y2,-1};
//记录矩形的下界限与上界限，上界记为-1，下界记为1；
}
n=n<<1;
sort(line+1,line+n+1,cmp);
sort(x+1,x+n+1); //数据从小到大排序
ll int tot=unique(x+1,x+n+1)-x-1; //排好序后，相邻且相同的数进行去重
build(1,1,tot-1);
ll int res=0;
for(int i=1;i<n;++i)
{
update(1,line[i].from,line[i].to,line[i].mark);
res+=tree[1].len*(line[i+1].check-line[i].check);
//记录矩形面积
}
printf("%lld",res);
return 0;
}二 . 矩形周长并
例题： 洛谷 P1856 [IOI1998] [USACO5.5] 矩形周长Picture
题目背景
墙上贴着许多形状相同的海报、照片。它们的边都是水平和垂直的。每个矩形图片可能部分或全部的覆盖了其他图片。所有矩形合并后的边长称为周长。
题目描述
编写一个程序计算周长。
如图1所示7个矩形。
如图2所示，所有矩形的边界。所有矩形顶点的坐标都是整数。
输入格式
输入文件的第一行是一个整数N（1<=N<5000），表示有多少个矩形。接下来N行给出了每一个矩形左下角坐标和右上角坐标（所有坐标的数值范围都在-10000到10000之间）。
输出格式
输出文件只有一个正整数，表示所有矩形的周长。
输入输出样例
输入 #1
7 -15 0 5 10 -5 8 20 25 15 -4 24 14 0 -6 16 4 2 15 10 22 30 10 36 20 34 0 40 16
输出 #1
228
思路：与用扫描线求矩形并的面积方法相同，建立两棵线段树，一棵用于统计横的线段总长，一棵用于统计竖的线段总长，注意最后处理线段的长度即可。其他与统计矩形面积并的方式一样。
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#define ll long long
#define lson num<<1
#define rson num<<1|1
using namespace std;
int n;
const int maxn=1e6+5;
int x[maxn<<1],y[maxn<<1];
struct node{
int l,r,sum,len;
}tree[maxn<<2];
struct Line{
int l,r,check,mark;
}line_x[maxn<<2];
struct Line2{
int l,r,check,mark;
}line_y[maxn<<2];
struct node2{
int l,r,sum,len;
}tree2[maxn<<2];
inline int read()
{
int x=0,f=1;
char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9')
{
if(c=='-') f=-1;
c=getchar();
}
while(c>='0'&&c<='9')
{
x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
c=getchar();
}
return x*f;
}
inline bool cmp(Line x,Line y)
{
if(x.check == y.check) return x.mark>y.mark;
else return x.check<y.check;
}
inline bool cmp2(Line2 x,Line2 y)
{
if(x.check== y.check) return x.mark>y.mark;
return x.check<y.check;
}
inline void push(int num)
{
if(tree[num].sum) tree[num].len=x[tree[num].r+1]-x[tree[num].l];
else if(tree[num].l==tree[num].r) tree[num].len=0;
else tree[num].len=tree[lson].len+tree[rson].len;
}
inline void push2(int num)
{
if(tree2[num].sum) tree2[num].len=y[tree2[num].r+1]-y[tree2[num].l];
else if(tree2[num].l==tree2[num].r) tree2[num].len=0;
else tree2[num].len=tree2[lson].len+tree2[rson].len;
}
inline void build(int num,int l,int r)
{
tree[num].l=l; tree[num].r=r;
tree[num].len=tree[num].sum=0;
if(l == r) return;
int mid=(l+r)>>1;
build(lson,l,mid);
build(rson,mid+1,r);
}
inline void build2(int num,int l,int r)
{
tree2[num].l=l; tree2[num].r=r;
tree2[num].len=tree2[num].sum=0;
if(l == r) return;
int mid=(l+r)>>1;
build2(lson,l,mid);
build2(rson,mid+1,r);
}
inline void update(int num,int l,int r,int k)
{
if(x[tree[num].l]>=r||x[tree[num].r+1]<=l) return;
if(x[tree[num].l]>=l&&x[tree[num].r+1]<=r)
{
tree[num].sum+=k;
push(num);
return;
}
update(lson,l,r,k);
update(rson,l,r,k);
push(num);
}
inline void update2(int num,int l,int r,int k)
{
if(y[tree2[num].l]>=r||y[tree2[num].r+1]<=l) return;
if(y[tree2[num].l]>=l&&y[tree2[num].r+1]<=r)
{
tree2[num].sum+=k;
push2(num);
return;
}
update2(lson,l,r,k);
update2(rson,l,r,k);
push2(num);
}
int main()
{
n=read();
for(int i=1;i<=n;++i)
{
int x1=read(),y1=read(),x2=read(),y2=read();
x[(i<<1)-1]=x1; x[i<<1]=x2;
y[(i<<1)-1]=y1; y[i<<1]=y2;
line_x[(i<<1)-1]=(Line){x1,x2,y1,1};
line_x[(i<<1)]=(Line){x1,x2,y2,-1};
line_y[(i<<1)-1]=(Line2){y1,y2,x1,1};
line_y[(i<<1)]=(Line2){y1,y2,x2,-1};
}
n<<=1;
sort(x+1,x+n+1);
sort(y+1,y+n+1);
sort(line_x+1,line_x+n+1,cmp);
sort(line_y+1,line_y+n+1,cmp2);
int tot1=unique(x+1,x+n+1)-x-1;
int tot2=unique(y+1,y+n+1)-y-1;
build(1,1,tot1-1); build2(1,1,tot2-1);
ll int res=0,temp1=0,temp2=0;
for(int i=1;i<=n;++i)
{
update(1,line_x[i].l,line_x[i].r,line_x[i].mark);
update2(1,line_y[i].l,line_y[i].r,line_y[i].mark);
res+=abs(tree[1].len-temp1)+abs(tree2[1].len-temp2);
//注意这里统计线段长度，用当前扫到的值减去上一次已有的值，得到此次扫描增加的线段长度
temp1=tree[1].len; temp2=tree2[1].len;
}
printf("%lld",res);
return 0;
}
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