51nod 1247 可能的路径

最新推荐文章于 2022-10-06 14:15:45 发布

原创最新推荐文章于 2022-10-06 14:15:45 发布 · 312 阅读

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本文通过逆向思维的方法证明了两点间路径可达性的等价条件，并利用欧几里得算法的思想简化问题，最终转化为判断两组数的最大公约数是否相等的问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

逆向思维，先证明点p1可以到点p2，然后可以从p2返回p1。然后找一点m,如果点(a,b)可以到达m，并且点(x,y)也可以到大m，则(a,b)可以到达(x,y)
相关讨论里给的证明：
给个不太严谨的证明思路：
第一步：证明路径可逆，也就是如果(a, b) -> (x, y)可行，则(x, y) - > (a, b)可行
这个比较直观，只需要分别由(a +ｂ, b) (a, a + b), (a - b, b), (a, a - b)推回(a, b)即可：
例如：(a, a - b) - > (b, a - b) - > (b, a) -> (a + b, a) - > (a + b, b) -> (a, b)
(a, a + b)->(2a + b, a + b) - > (2a + b, a)->(a + b, a) ->(a+b, b) ->(a, b)
注意这里也顺手说明了(a, b)->(b, a)可行
第二步：既然路径可逆，那题目的可以这样改写：是否存在点(m, n)使得(a, b) -> (m, n)可行且，(x, y)->(m, n)可行
　　　因为(a, b) -> (b, a)可行,则不失一般性，可假设：a > b
可以这样逐次推导：(a, b) -> (a - b, b) -> (a - 2b, b)-> … ->(a - nb, b)，其中, n = a / b，则，改写一下：
(a, b) - > (a % b, b) ->(b, a % b)
由此联想到欧几里得算法求解最大公约数的过程，不用多说了。。。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    long long t;
    cin >> t;
    long long a,b,x,y;
    while(t--)
    {
        cin >> a >> b >> x >> y;
        if(__gcd(a,b) == __gcd(x,y))
            cout << "Yes" <<endl;
        else
            cout << "No" << endl;
    }
    return 0;
}