【数学】P2671 [NOIP2015 普及组] 求和

题目背景

NOIP2015 普及组 T3、深入浅出进阶1-5

题目描述

一条狭长的纸带被均匀划分出了 $n$ 个格子，格子编号从 $1$ 到 $n$。每个格子上都染了一种颜色 $colo{r}_i$ 用 $[1,m]$ 当中的一个整数表示），并且写了一个数字 $numbe{r}_i$。

编号	1	2	3	4	5	6
颜色和数字	$5$	$5$	$3$	$2$	$2$	$2$

定义一种特殊的三元组：$(x,y,z)$，其中 $x,y,z$ 都代表纸带上格子的编号，这里的三元组要求满足以下两个条件：

1. $x,y,z$ 都是整数，$x<y<z,y-x=z-y$。

2. $colo{r}_x=colo{r}_z$。

满足上述条件的三元组的分数规定为 $(x+z)\times (numbe{r}_x+numbe{r}_z)$。整个纸带的分数规定为所有满足条件的三元组的分数的和。这个分数可能会很大，你只要输出整个纸带的分数除以 $10007$ 所得的余数即可。

思路：

题目等价于求对于所有满足 $x\equiv z(\mathrm{mod}2)，colo{r}_x=colo{r}_z$ 的二元组 $(x,z)$ 中 $(x+z)\times (numbe{r}_x+numbe{r}_z)$ 数值。容易想到将题目所有输入按照不同颜色和奇数偶数进行处理。

不妨让问题特殊化：假设我们当前要处理 $3$ 个相同颜色，编号和数字依次为：

编号	1	5	9
数字	$a_1$	$a_5$	$a_9$

有答案
$ans=(1+5)(a_1+a_5)+(1+9)(a_1+a_9)+(5+9)(a_5+a_9)=(2\times 1+5+9)a_1+(2\times 5+1+9)a_5+(2\times 9+1+5)a_9$

进一步的，上述式子等于 $(1+5+9)(a_1+a_5+a_9)+(1\times a_1+5\times a_5+9\times a_9)$

一般化问题，假设处理 $m$ 个同色且都为奇数（偶数）的数字，编号和数字依次为

编号：$x_1,x_2\dots x_m$

数字：$a_1,a_2\dots a_m$

有 $ans=(a_1+a_2)(x_1+x_2)+(a_1+a_3)(x_1+x_3)\cdots =a1(x_1+x_2+x_1+x_3\cdots +x_1+x_m)+a2\cdots +a_m(\dots )$

化简，有 $ans=a_1[(m-1)x_1+{\sum }_{i=2}^m{x}_i]+a_2[(m-1)x_2+{\sum }_{i=1}^m{x}_i-x_2]\cdots =a_1[(m-2)x_1+{\sum }_{i=1}^m{x}_i]+a_2\cdots =(a_1+a_2+a_3\dots a_m){\sum }_{i=1}^m{x}_i+(m-2){\sum }_{i=1}^m(a_i{x}_i)$

最终，可得到以下式子：

$ans={\sum }_{i=1}^m{a}_i\times {\sum }_{j=1}^m{x}_i+(m-2)\times {\sum }_{k=1}^m(a_k{x}_k)$

注意到以上所有式子都能在输入时处理，故本题解决，算法时间复杂度 $O(n+m)$

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
const int p = 10007;
using namespace std;
int n,m;
int num[100005],c[100005];
int s[100005][2],s2[100005][2],s3[100005][2];
int ans = 0;
signed main() {
	scanf("%lld %lld",&n,&m);
	for(int i = 1;i <= n;i++) scanf("%lld",&num[i]);
	for(int i = 1;i <= n;i++) scanf("%lld",&c[i]),s3[c[i]][i % 2]++;//统计这一类的数字数量
	for(int i = 1;i <= n;i++) {
		s[c[i]][i % 2] += i;//统计x数列的总和
		s2[c[i]][i % 2] += num[i];//统计a数列总和
		if(s3[c[i]][i % 2] >= 2)ans += (s3[c[i]][i % 2] - 2) * num[i] * i;//加上所求式子后面的那一部分
		ans %= p;
	}
	for(int i = 1;i <= m;i++) {
		for(int j = 0;j <= 1;j++) {
			if(s3[i][j] <= 1) continue;
			ans += s[i][j] * s2[i][j];//加上所求式子前面的那一部分
			ans %= p;
		}
	}
	printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}