倒水问题C++实现

量水问题方案

[量水问题]：
有三个分别装有a升水，b升水，c升水的量筒，其中a,b互质，c>b>a>0，现在c筒装满水，问能否在c筒中量出d升水(c>d>0)。若可以，给出方案。

解答：

所谓模数方程，就是模线性方程，即形如 ax ≡ b (mod c) 形式的方程，其中a,b,c是常数，x是自变量，这个方程表示ax mod c = b  mod c，即ax和b模c同余。
这个量水问题，用模数方程解比较方便，具体算法分析如下。

量水过程实际上就是倒来倒去，每次倒的时候总有如下几个特点：
1。总有一个筒中的水没有变动；
2。不是一个筒被倒满酒是另一个筒被倒光；
3。c筒仅起到中转作用，而本身的容积除了必须足够装下a筒和b筒全部的水以外，别无其他的限制；
这样，假设整个倒水过程中对a筒倒满了x次，对b筒倒满了y次，则：
ax  + by = d，   （1）
上式的x,y为整数，而且既可以是正整数（表示该筒（a或b）被c筒的水倒满的次数），也可以是负整数（表示该筒（a或b）被倒满后又倒回到c筒的次数）。
一般可以用穷举法来解方程（1），但是这种方法局限性很大。我们可以将方程转化为：
ax  = -by + d，
进一步变为
ax ≡ d (mod b)，    （20
这样问题就变成了求解模数方程（2）的解的问题。解x的个数就是可行方案的总数。其中xi表示第i种方案中a筒倒满的次数，xi代入方程（1）后求出来的yi表示b筒倒满的次数。

例如：有三个量筒，a=3,b=7,c=10,求c筒中量出5升水的所有方案。
解方程 ： 3x ≡ 5 (mod 7) 得到 x1 = 4,  y1=-1 和x2=-3, y2=2，
这两个解对应的倒水方案如下：

方案一： x1=4, y1=-1

次数   a   b   c       说明
1    0   0   10      初始状态       
2    3    0    7      从c倒水到a中，把a倒满
3    0   3    7