week10 树形数据结构与应用

树状数组与线段树：高效区间操作与逆序对计算

原创已于 2022-07-25 10:12:24 修改 · 116 阅读

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#算法 #排序算法 #贪心算法

于 2022-05-23 17:31:53 首次发布

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本文介绍了树状数组和线段树在计算机科学中的应用，特别是如何利用它们在O(logn)时间内进行区间修改、查询和求逆序对。重点讲解了如何通过lowbit操作优化区间求和，以及在修改原数组元素时的高效策略。

树状数组

前缀和，当原数组进行修改的售后，需要付出O(n)的代价。

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ti 也可以理解为其二进制的最低位的 1，与其后的 0 组成的 2 进制数

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lowbit(i) = i&(~i+1) = i&-i

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如果要查询区间 [1-i] 的和，需要树状数组进行多段拼接，树状数组d中, d[i] 表示 (i -ti, i] 的和，令 y = i -ti, 那么左侧紧邻的一段为 (y-ty, y] ，直到加上(0, x] 这个区间为止。

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树状数组修改，当原数组a 中某元素 a[i] 修改时，只有部分树状数组 d 中元素涉及a[ i ]，只用修改部分值，O(logn).
当a[i] 修改时，如何找到要修改的 d 中元素
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树状数组的应用

求逆序对（二位偏序问题）
在这里插入图片描述
二维偏序，首先按其中一个维度排序。另一个维度是无序的。
按照第二个维度的值，向树状数组中进行插入操作，每次插入完一个数，假设其第二维的值为 x ，求 ask(n)- ask（x） , n是第二维的最大值，那么就求出了当前在该数之前，第二维大于x，即第二维值属于(x,n] 的数的数量。

最长上升子序列

#define lb(x) (x &(-x))
using namespace std;
const int N = 1e6 +10;
// 建立树状数组
int s[N] = {0};
void upd(int x,int v){
    for(int i=x;i <N;i+=lb(i) )
        s[i] = max(s[i],v);
}
int ask(int x){
    int ans = 0;
    for(int i =x;i >=1;i-=lb(i))
        ans = max(ans,s[i]);
    return ans;
}
int main(){
 //freopen("a.in","r",stdin);
   int n;
   cin >>n;
   int ans = 0;
   for(int i = 0;i < n;i++) {
       int tmp;
       cin >> tmp;
       int a = ask(tmp-1);
       a++;
       upd(tmp,a);
   }
   ans = ask(N-1);
   cout << ans<<endl;
}