week 5-数学基础与方法应用

数学基础

取模运算

取模运算的一些性质：

位运算

快速幂

如果直接计算 $a^{b}modp，0<a,b,p<10^9$

long long qpow(long long a,long long b,long long p){
	if(!b) return 1;
	// 向下递归， b不断折半，计算 b 为不同值的时候，模是多少
	long long now = qpow(a,b/2,p); 
	// 递归返回上层
	if(b&1) return a*now%p*now%p;
	else return now%p*now%p;
}
// 一行写法

long long qpow(long long a ,long long b,long long p){
	long long ans = 1;
	for(a%p; b ;a = a*a%p,b >>= 1)
		if(b&1) ans = ans*a %p;
	return ans;
} 

前缀和与差分

前缀和

二维前缀和

用一个二维数组，表示一个左上角区域的和，
sum[x,y]表示左上角 0-x ,0-y 所元素之和

• 构造 ： sum[x,y] = sum[x-1, y] + sum[x, y-1] - sum[x-1, y-1] + a[x, y]
• 获取(a-c, b-d)区域的和 SUM = sum[c,d] - sum[c, b-1] - sum[a-1,d] + sum [a-1, b-1]

差分

原数组A , 差分数组B，数组范围[1， n]

• 构造： B[1] = A[1] - A[0] = A[1]
• B[i] = A[i] - A[i-1]

差分特点：

• 前缀和时元素值 $\sum B[1...i]=A[i]$
• 原数组的区间修改，可以转换成差分数组的单点修改
  A[L] 之后所有元素加 +C ,对应的差分数组，仅仅修改B[L]
  如果 仅仅修改A[L]~A[R] 均加上c，等价于B[L] += c ,B[R+1] -= c

尺取法

俗称 双指针法，是数组的常见操作

单调栈

如果矩形的高度确定，左端点越靠左，右端点越靠右，矩形的面积才可能最大。

利用单调栈，如果是一个单调递减栈，一个更高的长方形加入，那么左侧从当前位置开始遇到的首个矮长方形，将会被pop，由此找到左端点，同理可以找到右端点。

可以计算，以每个长方形的高度求长方形面积时的最大面积。

单调队列

举例单调递增队列

• 如果队列为 空 或者队尾元素 小于 入队元素，则入队
• 否则，入队则会破坏队内元素的单调性，则需要将不满足条
  件的队尾元素全部出队后，将入队元素入队

单调队列和单调栈的区别

• 单调栈有全局性
• 单调队列维护局部单调性

使用 deque 双端队列结构实现