算法导论（二）最小生成树

最小生成树的形成

管理一个遵循下属循环不变式的集合A:
在每遍循环前，A是某棵最小生成树的边的子集
在每一步，选择一条边(u,v)加入A，使得A仍然是某棵最小生成树的边集的子集，这样的一边成为安全边。

GENERIC-MST（G，w）
A = $\varphi$
while A 还没有形成一颗最小生成树
 寻找一条A的安全边（u，v）
 A = A ∪ { ( u . v ) } A \cup\{(u.v)\} A∪{(u.v)}
return A
该算法会运行$|V|-1$次

安全边

A ⊆ M S T T A ∪ { ( u , v ) } ⊆ M S T T ′ ( u , v ) 对 A 是 安 全 的 A\subseteq MST\quad T \\ A\cup \{(u,v)\}\subseteq MST \quad T'\\ (u,v)对A是安全的 A⊆MSTTA∪{(u,v)}⊆MSTT′(u,v)对A是安全的

几个定义：

• 割：集合的划分 割（X,Y），$X\cup Y=V,X\cap Y=\varphi ,X\ne \varphi ,Y\ne \varphi$
• (u,v)穿过割 $u\in X,v\in Y$
• 割尊敬集合A：集合A中不存在横跨割的边
• 穿过割的轻边：在所有横跨割的边中，权重最小的边

辨认安全边的定理：
定理 23.1
设G = （V,E）是一个在边E上定义了实值权重函数w的连通无向图。设集合A为E的一个子集且A包括在图G的某刻最小生成树中，设（S，V-S）是图中某一尊敬A的任意切割，又设（u，v）是横跨切割（S,V-S）一条轻边。那么边（u，v）对A是安全的
$$\begin{gathered} A\subseteq MSTT \\ cut(X,Y)尊敬A \\ （u，v）是穿过cut（X,Y）的轻边 \\ (u,v)对A是安全的 \end{gathered}$$
证明：
1、若这条边(u,v)是属于T的，则(u,v)对A是安全的
2、若(u,v)不属于T：
在T中存在u到v的简单路，T + {(u,v)}构成环，在该环上至少存在边(x,y),$x\in X,y\in Y$,
T’ = T + {(u,v)} - {(x,y)}是生成树
$$\begin{gathered} w(T^{\prime })=w(T)+w(u,v)-w(x,y)\le w(T) \\ w(T^{\prime })=w(T) \end{gathered}$$
T’是MST
由于割尊敬A，（x，y）穿过割， ( u , v ) ∉ A , A ⊆ T − { ( x , y ) } A ⊆ T ′ , A ∪ ( u , v ) ⊆ T ′ 由 于 T ′ 是 最 小 生 成 树 ， ( u , v ) 对 集 合 A 是 安 全 的 (u,v)\notin A,A\subseteq T-\{(x,y)\}\\ A\subseteq T',A\cup(u,v)\subseteq T'\\ 由于T' 是最小生成树，(u,v)对集合A是安全的 (u,v)∈/​A,A⊆T−{(x,y)}A⊆T′,A∪(u,v)⊆T′由于T′是最小生成树，(u,v)对集合A是安全的

推论 23.2：
设G = （V,E）是一个连通无向图，并有定义在边集合E上的实数权值函数w。设集合A为E的一个子集，且该自己包括在G的某刻最小生成树中，并设$C=(V_C,E_C)$为森林$G_A=(V,A)$的一个连通分量。如果边（u，v）是连接C和$C_A$中某个其他来南通分量的一条轻边，则(u,v)对A是安全的。
证明太显然了，用定理23.1，这条推论是下述两个算法的基础。

Kruskal 算法

在所有链接森林中两棵不同的树的便里面，找到权重最小的边（u，v）。设C1和C2为边（u，v）所连接的两颗树，由推论23.2隐含告诉我门，（u，v）是一条安全边。
MST-KRUSKAL(G，w)
A = $\varphi$
for v $\in G.V$
 MAKE-SET（v）
sort the edges of G.E into nondecreasiong order by weight w
for each edge(u,v)$\in$ G.E ,taken in nondecreasing order by weight
 if FIND-SET(v) $\ne$FIND-SET(u)
  $A=A\cup (u,v)$
  UNION(u,v)
return A
时间复杂度O（ElgV）

Prim算法

算法每一步在A和A之外的结点的所有边中，选择一条轻边加入A

MAT-PRIM(G,w，r)
for each u$\in$G.V
 key[u] = $\infty$
 $\pi [u]=NIL$
key[r] = 0
Q = G.V
while $Q\ne \varphi$
 u = EXTRACT-MIN(Q)
 for each $v\in$G.adj[u]
 $ifv\in Qandw(u,v)<key[v]$
   key[v] = w(u,v)
  $\pi [v]=u$
prim使用最小堆 时间复杂度O（ElgV）
使用斐波那契堆O（E +VlgV）

最小生成树的性质

性质1

（u，v）$\in$E是树中最小的边，存在MST T，（u，v）$\in$T

性质2

性质3

将生成树中的边按权值排列，最小生成树的对应位置上的边是最小的。