java数据结构与算法刷题-----LeetCode303. 区域和检索 - 数组不可变

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很多人觉得动态规划很难，但它就是固定套路而已。其实动态规划只不过是将多余的步骤，提前放到dp数组中（就是一个数组，只不过大家都叫它dp），达到空间换时间的效果。它仅仅只是一种优化思路，因此它目前的境地和线性代数一样----虚假的难。

1. 想想线性代数，在国外留学的学生大多数不觉得线性代数难理解。但是中国的学生学习线性代数时，完全摸不着头脑，一上来就是行列式和矩阵，根本不知道这玩意是干嘛的。
2. 线性代数从根本上是在空间上研究向量，抽象上研究线性关系的学科。人家国外的教科书都是第一讲就帮助大家理解研究向量和线性关系。
3. 反观国内的教材，直接把行列式搞到第一章。搞的国内的学生在学习线性代数的时候，只会觉得一知半解，觉得麻烦，完全不知道这玩意学来干什么。当苦尽甘来终于理解线性代数时干什么的时候，发现人家国外的教材第一节就把这玩意讲清楚了。你只会大骂我们国内这些教材，什么狗东西（以上是自己学完线性代数后的吐槽，我们同学无一例外都这么觉得）。

而我想告诉你，动态规划和线性代数一样，我学完了才知道，它不过就是研究空间换时间，提前将固定的重复操作规划到dp数组中，而不用暴力求解，从而让效率极大提升。

1. 但是网上教动态规划的兄弟们，你直接给一个动态方程是怎么回事？和线性代数，一上来就教行列式和矩阵一样，纯属恶心人。我差不多做了30多道动态规划题目，才理解，动态方程只是一个步骤而已，而这已经浪费我很长时间了，我每道题都一知半解不理解，过程及其痛苦。最后只能重新做。
2. 动态规划，一定是优先考虑重复操作与dp数组之间的关系，搞清楚后，再提出动态方程。而你们前面步骤省略了不讲，一上来给个方程，不是纯属扯淡吗？
3. 我推荐研究动态规划题目，按5个步骤，从上到下依次来分析

1. DP数组及下标含义
2. 递推公式
3. dp数组初始化
4. 数组遍历顺序（双重循环及以上时，才考虑）
5. dp数组打印，分析思路是否正确（相当于做完题，检查一下）

先理解题目细节

解题思路

1. 暴力求解的思想，就是每次都遍历数组，将指定区间的那几个元素相加。
2. 但是如果我们预先将其存储到dp数组，就可以直接通过dp, 获取数据，而不用枚举。典型的动态规划题目

动态规划思考5步曲

1. DP数组及下标含义

1. 先看时间和空间复杂度高的思路：我们要求出的是某个区间的元素和，那么dp数组中存储的就是某个区间元素和。要求出谁的元素和呢？显然是某个区间，那么下标就是代表区间的左右边界，显然，如果这样考虑需要2个下标表示，故这道题的dp数组需要二维数组。例如dp[3][5] = 区间(3,5)的元素和
2. 但是一个线性区间，我们可以用数学思路，先获取整体的区间和，在去掉多余的。例如(2,5)区间包含在(0,5)中，其中(0,1)区间是我们不需要的。我们只需要保存整个区间，也就是从0开始的区间，然后去掉多余的即可。也就是(2,5) = (0,5) - (0,1)

2. 递推公式

1. 很明显，我们只考虑从下标为0的元素开始，到每个边界的元素和。而(0,0)区间只有一个元素，需要特殊考虑。

1. 起点[0,0]的区间和固定为其本身。F(0) = 其本身
2. 其余的，都是从0开始到其所在位置的总和，而每个元素前一个位置，都保存了从0开始到它的元素总和。故我们只需要将自己的数值+前面区间的值。F(n) = F(n-1)+其本身的值

2. 但是别忘了，我们这个dp是抽象处理了的，如果区间要求的是从0开始，那么可以直接用我们这个一维数组的dp返回，但是,如果要的不是从0开始的呢？

1. 从0开始的区间，直接return dp[n]即可。因为我们dp数组本身保存的就是从0开始到n的区间和
2. 从left开始的区间（left>0）, return dp[n] - dp[left-1]. 例如(2,5)区间，left = 2，我们需要这样获取它：(2,5) = (0,5) - (0,1) === dp[5] - dp[2 - 1]

3. dp数组初始化

4. 数组遍历顺序(单重循环，无需考虑遍历顺序，一共就一维，哪里来的谁先谁后)
5. 打印dp数组（自己生成dp数组后，将dp数组输出看看，是否和自己预想的一样。）

具体看最上面了解题目细节那里吧。写这篇文章用的学校的电脑，用不了java

代码:时间复杂度初始化dp时O(n)，之后查询区间值为O(1).空间复杂度O(n)

class NumArray {
    private int dp[] = null;//dp数组，一维表示，保存从0开始的区间(0,0),(0,1),(0,2)...(0,n)
    public NumArray(int[] nums) {
        this.dp = new int[nums.length];//让dp数组与nums数组长度保持一致
        this.dp[0] = nums[0];//(0,0)区间只有一个元素值nums[0]
        //保存其余从0开始的区间, 例如(0,1)区间 = (0,0)区间+nums[1]本身
        for(int i = 1;i<nums.length;i++){
            dp[i] = dp[i-1]+nums[i];
        }
    }
    
    public int sumRange(int left, int right) {
        if(left == 0) return dp[right];//如果是从0开始的区间，直接返回dp中的值即可
        else return dp[right]-dp[left-1];//不是从0开始，需要特殊处理，(2,5) = (0,5) - (0,1)
    }
}

/**
 * Your NumArray object will be instantiated and called as such:
 * NumArray obj = new NumArray(nums);
 * int param_1 = obj.sumRange(left,right);
 */