计算复杂性与正则表达式问题解答

66、证明如果A属于P类，则P^A = P。

一般而言，证明 $ P^A = P $（其中 $ A \in P $）可以从以下思路进行：

• 首先明确，$ P $ 类是在多项式时间内可由确定性图灵机判定的语言类。
• $ P^A $ 类是在多项式时间内可由带 $ A $ 的神谕的确定性图灵机判定的语言类。

因为 $ A \in P $，所以存在一个确定性图灵机 $ M_A $，能在多项式时间 $ p(n) $ 内判定 $ A $。

对于任意语言 $ L \in P^A $，存在一个带 $ A $ 的神谕的确定性图灵机 $ M $，能在多项式时间 $ q(n) $ 内判定 $ L $。

在 $ M $ 运行过程中，当需要询问神谕时，我们可以用 $ M_A $ 来模拟神谕的回答：

• 由于 $ M_A $ 运行时间是多项式 $ p(n) $，
• 且 $ M $ 询问神谕的次数最多为 $ q(n) $ 次，

所以总的模拟时间是关于输入长度的多项式。

这表明存在一个确定性图灵机（即结合 $ M $ 和 $ M_A $ 模拟的机器）能在多项式时间内判定 $ L $，所以 $ L \in P $。

由于 $ L $ 是 $ P^A $ 中任意的语言，所以 $ P^A \subseteq P $。

又因为显然 $ P \subseteq P^A $，所以 $ P^A = P $。

67、给出带有指数运算的正则表达式，用于生成字母表 {0, 1} 上所有长度为 500 的字符串。

(0 ∪ 1)^500

68、给出带有指数运算的正则表达式，用于生成字母表 {0, 1} 上长度为 500 或更短的所有字符串。

正则表达式可以写为 ((0|1)^(0|1|...|500)) ，其中 (0|1) 表示 0 或 1， ^(0|1|..