15、分离单词问题的变种：理论分析与新见解

分离单词问题的变种：理论分析与新见解

1. 引言

分离单词问题旨在确定接受一个字符串而拒绝另一个字符串的最小状态数的确定性有限自动机（DFA）。这一问题在形式语言理论中具有重要意义，因为它不仅涉及到自动机理论的基础，还与字符串处理、模式识别等领域密切相关。本文将探讨分离单词问题的几个自然变体，这些变体对起始和/或结束状态施加了额外的约束。通过对这些问题的深入研究，我们希望能够获得新的视角，并为距离函数提供更精确的界限。

2. 分离单词问题的基本概念

给定两个字符串 ( x ) 和 ( y )，它们由字母表 ( \Sigma ) 组成，令 ( d(x, y) ) 表示确定性有限自动机（DFA）接受 ( x ) 但拒绝 ( y ) 所需的最小状态数。对于每一个正整数 ( n )，定义距离函数 ( D_{\parallel}(n) ) 和 ( D_{\not\parallel}(n) ) 如下：

• ( D_{\parallel}(n) = \max_{x \neq y, |x| = |y| = n} d(x, y) )
• ( D_{\not\parallel}(n) = \max_{x \neq y, |x| < |y| = n} d(x, y) )

分离单词问题的核心是确定这两个距离函数的渐近增长。具体来说，我们关心的是：

• 对于长度相同的字符串，DFA需要多少状态才能区分它们？
• 对于长度不同的字符串，DFA需要多少状态才能区分它们？

3. 分离单词问题的变体

为了更细致地研